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lokalen Extrempunkte berechnen

Schüler Berufskolleg, 12. Klassenstufe

Tags: Extrema, Extrempunkt, Lokale Extrema

Nero90 aktiv_icon

18:07 Uhr, 25.07.2010

Hallo,
ich habe eine Frage bezüglich Extrempunkten. Ich habe am

28.08.10

eine Nachprüfung in Mathe und muss bis dahin natürlich fleißig lernen damit ich bestehe.

Nun habe ich folgende Übungsaufgabe: "Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte der Graphen der folgenden Funktion." Die Funktion lautet:

f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} - 5 x

Ich weis, dass ich davon die 1. und 2. Ableitung brauche, das wär ja dann:

f' (x) = x^{2} - 4 x - 5

f'' (x) = 2 x - 4

Die notwendige Bedingung für ein Extrempunkt kenne ich, nur die hinreichende nicht mehr.
Notw. Bed.:

f' (x 0) = 0

Nun weis ich nicht wie es weiter geht. Könnt ihr mir bitte an diesem Beispiel zeigen wie man weiter rechnet bzw. was ich machen muss? Bitte mit allen rechnerischen Zwischenschritten die notwendig sind. Wäre wirklich sehr wichtig. Danke!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Extrema / Terrassenpunkte

Wurzel-Furzel aktiv_icon

18:15 Uhr, 25.07.2010

Nullstellen:

f (x) = 0 = (\frac{1}{3}) \cdot x^{3} - 2 \cdot x^{2} - 5 \cdot x

mit,

x 1 = 7.899, x 2 = - 1.899, x 3 = 0

hinreichende Bed.:

f'' > 0,

lok. Minimum

f'' < 0,

lok. Maximum

advokata aktiv_icon

18:18 Uhr, 25.07.2010

Du musst einfach die Nullstellen der ersten Ableitung ermitteln.

x^{2} - 4 x - 5

Die Nullstellen (mit der p-q-Formel) sind

x_{1} = 5

und

x_{2} = - 1

Du setzt diese Werte in

f (x)

f (5) = - \frac{40}{3}

f (- 1) = \frac{8}{3}

f'' (x) = 2 x - 4

f'' (5) = 6 \Rightarrow

Es liegt ein Minimum vor

f'' (- 1) = - 6 \Rightarrow

Es liegt ein Maximum vor

Bamamike aktiv_icon

18:30 Uhr, 25.07.2010

Die Nullstellen stimmen aber nicht, siehe Bild.
Edit: Verbessern aber bitte in einer extra Zeile.

Wurzel-Furzel aktiv_icon

18:31 Uhr, 25.07.2010

f' (x) = 0 = x^{2} - 4 \cdot x - 5

x 1 = - 1, x 2 = 5

lok. Maximum:

f (- 1) = \frac{8}{3} = 2.667

lok. Minimum:

f (5) = - \frac{100}{3} = - 33.33

advokata aktiv_icon

18:52 Uhr, 25.07.2010

@Wurzel_Furzel , warum hast du die Nullstellen von

f (x)

angegeben? Das ist aber für dieses Thema eher unwichtig.

Kosekans aktiv_icon

19:13 Uhr, 25.07.2010

"Berechnen Sie die lokalen Extrempunkte der Graphen der folgenden Funktion."

Um sicher geglaubte Punkte in der Prüfung am Ende nicht doch noch liegen zu lassen, halte dich an dieses Schema:

1) f (x)

ableiten

2)

Notwendige Bedingung für lokale Extrema:

f' (x) = 0

3) f' (x)

ableiten

4)

Hinreichende Bedingung für lokale Extrema

f'' (x) \neq 0

5)

Wenn

f'' (x) < 0 \Rightarrow

Maximum, wenn

f'' (x) > 0 \Rightarrow

Minimum

6)

y-Werte der Extremstellen ausrechnen

7)

Extrempunkte explizit in Punktschreibweise hinschreiben

E_{1} (x_{e}; y_{e}), . .

Nero90 aktiv_icon

20:09 Uhr, 25.07.2010

Ok, nachdem ich die Nullstellen von

f' (x)

bei

f (x)

eingesetzt und ausgerechnet habe kommen ja die Zahlen raus:

f (- 1) = 6,66667 \to

Minimum

f (5) = - 33,3333 \to

Maximum

Also lauten dann die Extrempunkte so:

E 1 (- 1 | 6,667)

E 2 (5 | - 33,33)

Ist das richtig?

Bamamike aktiv_icon

20:12 Uhr, 25.07.2010

Dein erster Wert ist entweder ein Schreibfehler oder Du hast Dich verrechnet, er sollte heissen:

f (- 1) = 2,6667

Edit:

f (- 1)

ist das lokale Maximum

f (5)

das lokale Minimum

Du hast anscheinend beim zweiten Term der Funktion, also bei

- 2 \cdot x^{2}

bei

x = - 1

als Ergebnis

+ 2

berechnet, es muss aber

- 2

sein !

Kosekans aktiv_icon

20:21 Uhr, 25.07.2010

Um zu entscheiden ob es sich um ein Minimum oder ein Maximum handelt, betrachtest du

f'' (x_{e})

nicht

f (x_{e})

. Habe das oben noch ergänzt.

Nero90 aktiv_icon

20:27 Uhr, 25.07.2010

Bei dem ersten Wert muss ich mich verrechnet haben. Und das ich bei den Mini/Maximum

f'' (x)

betrachte weis ich, hatte es nur mal so hingeschrieben. Ich denke ich hab kapiert wie's geht. Werde noch ein paar andere Übungsaufgaben dazu machen. Danke für die schnellen Antworten

=)

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