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lr-Zerlegung

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Matheneuling300

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15:40 Uhr, 03.12.2020

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Ich habe die Menge B(A) einer Matrix A gegeben, die wie folgt definiert ist: B(A)={xTAxxTx|x\0}. Nun soll gezeigt werden, dass eine Matrix Anxn eine LR-Zerlegung besitzt, falls 0 nicht in B(A). Also es soll gelten A= LR, wobei L eine unipotente untere Dreiecksmatrix ist und R eine obere Dreiecksmatrix.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen. :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

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16:26 Uhr, 03.12.2020

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Wenn 0 nicht in B(A), dann ist A invertierbar. Und jede invertierbare Matrix hat eine LR-Zerlegung.
Matheneuling300

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16:46 Uhr, 03.12.2020

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Vielen Dank für deine schnelle Antwort.
Ich versteh irgendwie noch nicht, wie das alles nun zusammenhängt.
Also als Tipp stand Induktion da.
Also dachte ich mir, dass man ja den k-tenInduktionsschritt annehmen könnte, dass also man die Zwischenmatrizen L(k) und R(k) bereits berechnet hat, sodass L(k)R(k)=A ist. Und dann weiß ich einfach nicht, wie ich weiter machen muss. Hast du einen Hinweis für mich?
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DrBoogie

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16:55 Uhr, 03.12.2020

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Der Hinweis ist etwas komisch. Vielleicht ist die Aufgabe, die LR-Zerlegung zu konstruieren?
Matheneuling300

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17:00 Uhr, 03.12.2020

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Die ganze Aufgabe verwirrt mich etwas. Also wortwörtlich heißt es: Wir wollen zeigen, dass eine Matrix Anxn eine LR-Zerlegung besitzt, falls die = nicht B(A) liegt. Beweisen Sie die Aussage per Induktion (Gauß-Algorithmus)
Eigentlich geht es doch nur um die Existenz, oder?
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DrBoogie

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17:04 Uhr, 03.12.2020

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Vielleicht hilft der Satz 2.5 hier:
www.math.kit.edu/ianm3/lehre/numa12009s/media/na.pdf
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DrBoogie

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17:07 Uhr, 03.12.2020

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Ich hatte übrigens Unrecht, alleine Invertierbarkeit der Matrix reicht nicht.
Aber die Bedingung mit Hauptminoren aus dem Satz 2.5 ist gleichbedeutend mit "0 nicht in B(A)".
Matheneuling300

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17:23 Uhr, 03.12.2020

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Danke für den Link.
Warum ist das gleichbedeutend?
Warum habe ich denn überhaupt diese Menge B(A), wenn es um die LR-Zerlegung von einer Matrix geht?
Matheneuling300

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17:31 Uhr, 03.12.2020

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Ich glaube so langsam verstehe ich das. In dem Satz steht ja drin, wenn A regulär ist, muss auch L und R regulär sein. Reguläre Matrix heißt, dass sie invertierbar ist und das die Determinante nicht 0 ist. Wenn jetzt also 0 aus B(A) kommt, dann könnte man den nächsten Schritt gar nicht durchführen?
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DrBoogie

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17:34 Uhr, 03.12.2020

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Ich weiß nicht, wofür man die Menge B(A) braucht. Im Endeffekt brauchst du ja nur, dass 0 nicht drin liegt. Also dass xtAx0 für x0. Da kann man eigentlich die Menge selbst vergessen.

Wenn xtAx0 für alle x0, dann ist es für x der Form (x1,0,0,...) so, dann auch für x der Form (x1,x2,0,0,...) usw. Daraus folgt, dass alle Teilmatrizen aus dem Satz regulär sein müssen.
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DrBoogie

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17:36 Uhr, 03.12.2020

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"Reguläre Matrix heißt, dass sie invertierbar ist und das die Determinante nicht 0 ist. Wenn jetzt also 0 aus B(A) kommt, dann könnte man den nächsten Schritt gar nicht durchführen?"

Die Matrix muss selbst regulär sein, aber auch alle "Hauptteilmatrizen" auch.
Matheneuling300

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17:50 Uhr, 03.12.2020

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Ahhh... so langsam macht es klick. Und wenn jetzt quasi die 0 reinfallen würde, dann wäre die Eigenschaft verletzt und wir hätten einen Widerspruch?
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HAL9000

HAL9000

18:47 Uhr, 03.12.2020

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0B(A) ist hinreichend für die Regularität von A, aber es ist nicht notwendig - Beispiel:

A=(100-1) ist regulär, aber für x=(11) gilt xTAx=0 und damit 0B(A).

Matheneuling300

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19:13 Uhr, 03.12.2020

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Das würde ja auch bedeuten, dass die Rückrichtung nicht unbedingt gelten muss.
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