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lr-Zerlegung
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: Sonstig
 
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Ich habe die Menge einer Matrix A gegeben, die wie folgt definiert ist: . Nun soll gezeigt werden, dass eine Matrix eine LR-Zerlegung besitzt, falls 0 nicht in . Also es soll gelten LR, wobei eine unipotente untere Dreiecksmatrix ist und eine obere Dreiecksmatrix. Ich hoffe ihr könnt mir helfen. :-) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Wenn nicht in , dann ist invertierbar. Und jede invertierbare Matrix hat eine LR-Zerlegung. |
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Vielen Dank für deine schnelle Antwort. Ich versteh irgendwie noch nicht, wie das alles nun zusammenhängt. Also als Tipp stand Induktion da. Also dachte ich mir, dass man ja den k-tenInduktionsschritt annehmen könnte, dass also man die Zwischenmatrizen und bereits berechnet hat, sodass ist. Und dann weiß ich einfach nicht, wie ich weiter machen muss. Hast du einen Hinweis für mich? |
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Der Hinweis ist etwas komisch. Vielleicht ist die Aufgabe, die LR-Zerlegung zu konstruieren? |
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Die ganze Aufgabe verwirrt mich etwas. Also wortwörtlich heißt es: Wir wollen zeigen, dass eine Matrix eine LR-Zerlegung besitzt, falls die = nicht liegt. Beweisen Sie die Aussage per Induktion (Gauß-Algorithmus) Eigentlich geht es doch nur um die Existenz, oder? |
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Vielleicht hilft der Satz 2.5 hier: www.math.kit.edu/ianm3/lehre/numa12009s/media/na.pdf |
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Ich hatte übrigens Unrecht, alleine Invertierbarkeit der Matrix reicht nicht. Aber die Bedingung mit Hauptminoren aus dem Satz 2.5 ist gleichbedeutend mit " nicht in ". |
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Danke für den Link. Warum ist das gleichbedeutend? Warum habe ich denn überhaupt diese Menge wenn es um die LR-Zerlegung von einer Matrix geht? |
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Ich glaube so langsam verstehe ich das. In dem Satz steht ja drin, wenn A regulär ist, muss auch und regulär sein. Reguläre Matrix heißt, dass sie invertierbar ist und das die Determinante nicht 0 ist. Wenn jetzt also 0 aus kommt, dann könnte man den nächsten Schritt gar nicht durchführen? |
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Ich weiß nicht, wofür man die Menge braucht. Im Endeffekt brauchst du ja nur, dass nicht drin liegt. Also dass für . Da kann man eigentlich die Menge selbst vergessen. Wenn für alle , dann ist es für der Form so, dann auch für der Form usw. Daraus folgt, dass alle Teilmatrizen aus dem Satz regulär sein müssen. |
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"Reguläre Matrix heißt, dass sie invertierbar ist und das die Determinante nicht 0 ist. Wenn jetzt also 0 aus B(A) kommt, dann könnte man den nächsten Schritt gar nicht durchführen?" Die Matrix muss selbst regulär sein, aber auch alle "Hauptteilmatrizen" auch. |
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Ahhh... so langsam macht es klick. Und wenn jetzt quasi die 0 reinfallen würde, dann wäre die Eigenschaft verletzt und wir hätten einen Widerspruch? |
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ist hinreichend für die Regularität von , aber es ist nicht notwendig - Beispiel: ist regulär, aber für gilt und damit . |
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Das würde ja auch bedeuten, dass die Rückrichtung nicht unbedingt gelten muss. |
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