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m mal die gleiche Augenzahl bei n Würfen

Universität / Fachhochschule

Tags: Kombinatorik, Stochastik, Wahrscheinlichkeit

CruelNabla aktiv_icon

17:34 Uhr, 09.09.2014

Hallo zusammen,
ich hoffe hier kann mir jemand weiter helfen.

Ich bin auf der Suche nach einer analytischen Formel, welche mir die Wahrscheinlichkeit für folgendes Problem liefert.

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit

W (M, N),

dass nach

N

mal Würfeln mindestens

M

mal die gleiche Augenzahl geworfen wurde. Dabei ist es egal, welche der Augenzahlen

M

mal geworfen wurde, solange es für mindestens eine Augenzahl zutrifft.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und mit Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen mit Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

Zenzi aktiv_icon

22:36 Uhr, 09.09.2014

Hallo!

Ich würde sagen es handelt sich um eine Binomialverteilung. Beim Würfeln wird "gezogen ohne Zurücklegen".
Die Wahrscheinlichkeit eine Bestimmte Augenzahl zu würfeln beträgt

\frac{1}{6}

und die Wahrscheinlichkeit eine andere Augenzahl zu würfeln beträgt

\frac{5}{6}

.
Nun hat man 2 Möglichkeiten die Wahrscheinlichkeit mindestens m Mal eine bestimmte Zahl zu würfeln zu beschreiben. Entweder man summiert die Wahrscheinlichkeiten dafür, m Mal diese Augenzahl zu würfeln + m+1 Mal die Augenzahl zu würfeln, ....., n Mal die Augenzahl zu würfeln oder man verwendet die Gegenwahrscheinlichkeit.

1 Möglichkeit:

P (X = m) + P (X = m + 1) + . . . + P (X = n) = \sum_{i = m}^{n} P (X = i) = \sum_{i = m}^{n} (\binom{n}{i}) \cdot (\frac{1}{6})^{i} \cdot (1 - \frac{1}{6})^{n - i} = \sum_{i = m}^{n} (\binom{n}{i}) \cdot (\frac{1}{6})^{i} \cdot (\frac{5}{6})^{n - i}

2. Möglichkeit:

P (X = m) + P (X = m + 1) + . . . + P (X = n) = 1 - (P (X = 0) + P (X = 1) + . . . + P (X = m - 1)) = 1 - \sum_{i = 0}^{m - 1} (\binom{n}{i}) \cdot (\frac{1}{6})^{i} \cdot (\frac{5}{6})^{n - i}

CruelNabla aktiv_icon

23:08 Uhr, 09.09.2014

Vielen Dank Zenzi. Dies war auch mein erster Ansatz, aber ich bin mir unsicher. Ist dies nicht lediglich die Lösung, wenn ich eine bestimmte Augenzahl mindestens

M

mal würfeln möchte? Ich interessiere mich speziell für den Fall, dass es irgendeine Augenzahl sein darf, welche mindestens

M

mal geworfen wird. Das Ergebnis von oben kann ich hierfür ja nicht einfach mit 6 multiplizieren, da ich dann einzelne Ergebnisse doppelt zähle.
Oder irre ich mich?

pwmeyer aktiv_icon

09:53 Uhr, 10.09.2014

Hallo,

ich halte das für sehr kompliziert. Ich würde mal so daran gehen: Bestimme alle Zerlegungen

N = m_{1} + m_{2} + . .

+ m_{6}

mit der Nebenbdingung: Mindestens ein

m_{i} \geq M

Das soll bedeuten:

m_{i} -

mal wird die Zahl

i

gewwürfelt. Dann berechnest du dazu die Wahrscheinlichkeiten und addierst über alle Zerlegungen von

N

auf.

Auf diesem Weg könntest Du für festes

N

und

M

die Wahrscheinlichkeit durch ein Programm berechnen lassen. Ob es dafür eine geschlossene Formel gibt wage ich nicht abzuschätzen.

Gruß pwm

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