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majorantenkriterium divergenz

Universität / Fachhochschule

Tags: Konvergenz

Connor1 aktiv_icon

00:07 Uhr, 20.11.2017

Hallo zusammen,

ich muss zeigen ob die folge konvergent oder divergent ist.

aufgabe und aufschrieb sind im anhang. darf ich das so machen? also zwei kriterien aufweisen.

ich bedanke mich für jede antwort.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

00:12 Uhr, 20.11.2017

Nein, konvergent !

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00:14 Uhr, 20.11.2017

wo liegt den der fehler bzw welches kriterium muss ich anwenden?

Respon

00:15 Uhr, 20.11.2017

Ist dir folgendes bekannt ?

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a} = 1

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00:19 Uhr, 20.11.2017

Ja, da für

n \to \infty \Rightarrow a^{0}

ich muss das mit einem bestimmten kriterium zeigen. welches kann man denn da am besten benutzen?

Respon

00:25 Uhr, 20.11.2017

oder

\sqrt[n]{12^{n} + 3^{n} + 4^{n}} = \sqrt[n]{12^{n} \cdot (1 + {(\frac{3}{12})}^{n} + {(\frac{4}{12})}^{n})} = 12 \cdot \sqrt[n]{1 + {(\frac{3}{12})}^{n} + {(\frac{4}{12})}^{n}}

Und jetzt überlege dir den

l i m

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00:28 Uhr, 20.11.2017

Es müsste doch dann gelten

lim_{n \to \infty}

= 12

oder liege ich da falsch?

Respon

00:30 Uhr, 20.11.2017

ja, der

l i m

ist

12

( Wenn du willst, kannst du auch bei "Wolfram" kontrollieren : www.wolframalpha.com/input/?i=lim+(12%5En%2B3%5En%2B4%5En)%5E(1%2Fn) )

Connor1 aktiv_icon

00:35 Uhr, 20.11.2017

Danke erstmal für die Hilfe :-)

Also ich muss das mit irgendeinem Kriterium beweisen. Wenn ich mir eine Folge anschaue die Größer ist (Die Folge ohne Wurzel) ist das doch die Majorante, oder? Wenn ich diese Folge

b_{n}

jetzt auf Konvergenz oder Divergenz überprüfe kann ich doch eine Aussage über

a_{n}

machen. Wenn ich das Quotientenkriterium auf

b_{n}

anwende, komme ich auf

12

und das ist ja größer als 1 und somit ist doch

b_{n}

divergent. Demnach ist

a_{n}

auch divergent.

Also mir ist schon bewusst dass die Folge konvergent sein muss, aber irgendwie komme ich mit den Konvergenzkriterien auf Divergenz.

Was mache ich denn genau falsch?

Danke

Respon

00:41 Uhr, 20.11.2017

\sqrt[n]{12^{n} + 3^{n} + 4^{n}} < 12^{n} + 3^{n} + 4^{n}

und

lim_{n \to \infty} 12^{n} + 3^{n} + 4^{n} = \infty

Nur sagt das über die Konvergenz der ursprünglichen Folge überhaupt nichts aus. Und das Quotientenkriterium bzw. das Majorantenkriterium gilt für REIHEN und nicht für Folgen.

Connor1 aktiv_icon

00:55 Uhr, 20.11.2017

Oh stimmt

... ... .

.

Der Grenzwert der Folge liegt dann also bei

12

und nicht bei

1,

richtig?

Danke für die Aufklärung! :-)

Connor1 aktiv_icon

00:55 Uhr, 20.11.2017

Oh stimmt

... ... .

.

Der Grenzwert der Folge liegt dann also bei

12

und nicht bei

1,

richtig?

Danke für die Aufklärung! :-)

Roman-22

02:36 Uhr, 20.11.2017

>

Der Grenzwert der Folge liegt dann also bei

12

und nicht bei

1,

richtig?

Dass der Grenzwert

12

ist, hat dir Respon doch schon längst um

0 : 30

bestätigt und dir auch eine Möglichkeit genannt, es zu zeigen.

Wenn du unbedingt abschätzen möchtest, dann kannst du ja deinen Ausdruck einzwicken

\sqrt[n]{12^{n} + 0^{n} + 0^{n}} \leq \sqrt[n]{12^{n} + 3^{n} + 4^{n}} \leq \sqrt[n]{12^{n} + 12^{n} + 12^{n}}

\sqrt[n]{12^{n}} \leq \sqrt[n]{12^{n} + 3^{n} + 4^{n}} \leq \sqrt[n]{3 \cdot 12^{n}}

12 \leq \sqrt[n]{12^{n} + 3^{n} + 4^{n}} \leq 12 \cdot \sqrt[n]{3}

und jetzt lass

n \to \infty

gehen.

Connor1 aktiv_icon

02:39 Uhr, 20.11.2017

Alles klar
Danke!

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