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mathematische Logik - monotone Funktion

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: mathematische Logik, monotone Funktion

 
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8mileproof

8mileproof aktiv_icon

14:49 Uhr, 15.04.2012

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hallo,

ich habe folgende aufgabe (siehe Bild)


ich hatte keine ahnung wie ich das aufzuschreiben hatte und hab zu der a) folgendes hingeschrieben:

a) sei φ die formel mit der ich die monotonen funktionen darstellen kann. so lautet φ=(x1¯∧x2¯∧x3¯∧...... ∧xn¯)∨(y1¯∧y2¯∧y3¯∧...... ∧yn¯), wobei xi¯≤yi¯


kann man das so sagen? wie gesagt ich wusste nicht wie ich das mathematisch zu zeigen hatte.
im zweiten teil der teilaufgabe a) musste ich ja folgern, dass es funktional unvollständig ist. aber dazu wollte ich mir noch ein paar notizen machen. bis jetzt hab ich mir dazu nichts überlegt...

malo

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

20:01 Uhr, 17.04.2012

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a) zeigt man in der einen Richtung durch strukturelle Induktion:
0,1,(x1,x2)↦x1∧x2,(x1,x2)↦x1∨x2 und sicherheitshalber noch (x1,...,xn)↦xi sind (notfalls per Wahrheitstabelle) monoton und mit x↦f(x) und x↦g(x) sind auch f(x)∧g(x) und f(x)∨g(x) monoton.

Für die andere Richtung hilft Induktion nach Anzahl der Variablen:
Ist die (n+1)-stellige Funktion f:(x1,...,xn+1)↦f(x1,...,xn+1) monoton, so auch die beiden n-stelligen
g:(x1,...,xn)↦f(x1,...,xn,0)
h:(x1,...,xn)↦f(x1,...,xn,1)
Aus diesen kann man aber (unter Nutzung der Monotonie!)
f(x1,...,xn+1)=g(x1,...,xn)∨(xn+1∧h(x1,...,xn))
zusammenbasteln.

Unvollständigkeit ergibt sich schließlich unmittelbar daraus, dass es durchaus nicht-monotone Funktionen gibt.
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