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Stetigkeit

Tags: Funktion, Stetigkeit

Jennifer87 aktiv_icon

16:59 Uhr, 16.12.2010

Hi,

hab bei folgendem Beispiel leider schon Probleme die angabe zu verstehen,

. .

.

Seien

f, g : I \to ℝ, I \subset ℝ

und

max (f, g) (x) := max (f (x), g (x))

min (f, g) (x) := min (f (x), g (x))

zu zeigen: Sind

f, g

stetig so auch

min (f, g)

und

max (f, g)

Mein Ansatz wäre da wieder eine Fallunterscheidung

(f (x) < g (x); f (x) >

g(x)und

f (x) = g (x)

aber weiß nicht so recht wie ich die stetigkeit beweisen kann .

lg Jenny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Sukomaki aktiv_icon

17:42 Uhr, 16.12.2010

Hi,

spontan habe ich irgendwie das Gefühl, dass Du die letzte
Aufgabe hier benutzen kannst. Hast Du eine Idee, wie? :-)

Jennifer87 aktiv_icon

17:47 Uhr, 16.12.2010

also im mom hab ich die Überlegung I in endlich viele Teilintervalle zu Unterteilen, sodass für jedes Teilintervall gilt

f (x) \geq g (x)

oder

f (x) \leq g (x)

dann ist

max (

bzw.

min)

auf jedem Teilintervall stetig , also muss ich mir nur noch die Schnittpunkte zwischen den Intervallen überlegen...

geht das so, oder bin ich total auf dem Holzweg?

Sukomaki aktiv_icon

20:00 Uhr, 16.12.2010

Hi,

verstehe ich das richtig, dass du argumentierst, auf den
Teilintervallen von

I

ist

f

, bzw.

g

das Maximum und Du musst
nur noch die Übergänge von

M a x = f

nach

M a x = g

und andersherum
betrachten?

Hm, das klingt gar nicht so verkehrt.

Meine Idee ist wie folgt :

1)

f (x)

und

g (x)

sind stetig

\Rightarrow

mit der Definition

d (x) = f (x) - g (x)

2) ist

d (x)

stetig

Weiter definiere ich :

d_{f} (x) = f (x)

für

d (x) \geq 0, 0

sonst

d_{g} (x) = g (x)

für

d (x) \leq 0, 0

sonst

Dann sind

d_{f} (x)

und

d_{g} (x)

stetig und es ist auch
3)

s (x) := d_{f} (x) + d_{g} (x)

stetig

Fallunterscheidung :

f

ist Maximum :

d_{g} = 0

g

ist Maximum :

d_{f} = 0

\Rightarrow m a x (f (x), g (x)) = s (x)

Nun ist

m a x (f (x), g (x)) = m a x (f, g) (x)

Womit also
4)

m a x (f, g) (x)

ebenfalls stetig ist.

Die Stetigkeit des Minimums zeigst Du analog dazu.

G
Kai

Jennifer87 aktiv_icon

20:46 Uhr, 16.12.2010

oki nachdem du

d (x)

definiert hast läufts ähnlich wie bei meinem letzten Beispiel :-)
danke für die schnelle Hilfe

lg Jenny

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