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maximaler Definitionsbereich von f(x,y)

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Funktionen

Tags: Funktion, maximaler Definitionsbereich

Slughorn aktiv_icon

23:08 Uhr, 10.01.2011

Hallo

Ich habe eine Frage und zwar zu folgender Funktion:

f (x,y) : =

\sqrt{c o s \sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Frage: was ist der maximale Definitionsbereich D = D(f) von f? ich weiss, dass in einer Wurzel kein negativer Wert stehen darf also (x^2 + y^2) < 0, und cos(x^2 + y^2) < 0. Ist das korrekt? Was gillt es noch zu beachten zu präzisieren?
dann soll ich diesen Definitionsbereich noch skizzieren -> gibt eine abgeschlossene Kreisscheibe? Wieso das?

Wäre nett wenn mir jemand helfen könnte.

Gruss
Slughorn

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pleindespoir aktiv_icon

00:28 Uhr, 11.01.2011

f (x, y) : = \sqrt{c o s \sqrt{x^{2} + y^{2}}}

Fang mal vom anderen Ende an:

unter der äusseren Wurzel darf nichts negatives sein:

c o s \sqrt{x^{2} + y^{2}} \geq 0

Der cosinus ist von

0

bis

\frac{π}{4}

positiv (Null)

(negative Argumente lassen wir mal vorläufig links liegen, sollten aber nicht aus den Augen verloren gehen.)

also folgt:

0 \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq \frac{π}{4}

kann man quadrieren

0 \leq x^{2} + y^{2} \leq \frac{π^{2}}{16}

die Intervallgrenzen wären:

0 = x^{2} + y^{2}

das wäre ein Punkt im Ursprung

und

x^{2} + y^{2} = \frac{π^{2}}{16}

und das ist entspricht folgender Kreisgleichung

y = \pm \sqrt{(\frac{π}{4})^{2} - x^{2}}

aleph-math aktiv_icon

03:33 Uhr, 11.01.2011

Gu. Morgen!

"Der cosinus ist von 0 bis π/4 positiv ..."
Stimmt nicht ganz, 90° entspricht doch π/2! Ausserd. gilt cos>0 auch noch von 3π/2 bis 2π! Mit r² = x² + y² gilt also:

r = \sqrt{x ² + y ²} \in [0, \frac{π}{2}] \cup [\frac{3 π}{2}, 2 π]

.

Da x & y über die erwähnte "Kreisgl." von einander abhängen, kann der Fall x=0 bzw. y=0 eintreten; dann gilt: x²=r² => x=r. Es müssen also auch x (u. mit dem gl. Argumt. auch y) in dem ob. Intervall(en) liegen. Dementspr. ist der Def.bereich:

r, x, y \in [0, \frac{π}{2}] \cup [\frac{3 π}{2}, 2 π]

bzw.

D = {x, y \in [0, \frac{π}{2}] \cup [\frac{3 π}{2}, 2 π] ∣ x ² + y ² = r ²}

.

"Alles klar, Hr.Kommissar?"

Slughorn aktiv_icon

11:15 Uhr, 11.01.2011

Danke für eure Antworten. Es hat mir schonmal geholfen.
Die Kreisfunktion ansich ist nicht gefragt da habe ich mich falsch ausgedrückt.

Ist es richtigt, dass es gewisse Definitionslücken gibt z.b. zwischen π/2 und 3π/2 denn da wäre cos negativ?

ich habe eine Lösung gefunden (auf einem alten Lösungsblatt werde jedoch nicht ganz schlau daraus) und frage mich, ob das das gleiche ist wie ihr vorgeschlagen habt:

K_{n} := ((x, y) \in R^{2} ∣ - π / 2 + 2 n π \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} \leq π / 2 + 2 n π)

n = 1,2,3..
denn hier verstehe ich das

+ 2 n π

nicht. Was hier aber wohl berücksichtigt wird ist, dass die cos funktion ja nicht einfach "aufhört" und man deshalb die Schreibweise mit n wählen soll:

D_{f} = K_{1} \cup K_{2} \cup . . . K_{n}

Wisst ihr was ich meinen könnte? =)

pleindespoir aktiv_icon

18:27 Uhr, 11.01.2011

abgesehen von meinem Versehen, 2 mit 4 verwechselt zu haben ....

"(negative Argumente lassen wir mal vorläufig links liegen, sollten aber nicht aus den Augen verloren gehen.)"

Damit habe ich unter anderem auch gemeint, dass nicht nur der erste Quadrant der trigonometrischen Funktionen zu berücksichtigen ist.

Durch die Periodizität der Funktionen wird es unendlich viele Intervalle geben, in welchen die Funktion definiert sein wird.

aleph-math aktiv_icon

22:17 Uhr, 11.01.2011

Servus!

Das K_n aus der alten Lösung sieht zwar ähnl. aus u. meint das gleiche, ist aber bei näh. Betrachtg. anders u. m.E. (tw.) fehlerhaft. Vgl.:

- \frac{π}{2} + 2 π ∣_{n = 1} = \frac{3 π}{2}

; der cos ist aber schon bei -90° pos. Also muss n ab 0 laufen:

n = 0 : - \frac{π}{2} + 0 \cdot 2 π = - \frac{π}{2}; + \frac{π}{2} + 0 \cdot 2 π = \frac{π}{2};

n = 1 : - \frac{π}{2} + 1 \cdot 2 π = \frac{3 π}{2}; + \frac{π}{2} + 1 \cdot 2 π = \frac{5 π}{2};

n = 2 : - \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 π = \frac{7 π}{2}; + \frac{π}{2} + 2 \cdot 2 π = \frac{9 π}{2};

...
Das ist jeweils die Periodengr. +/- 90°, genauer:

2 n π \pm \frac{π}{2}

. Innerh. der (normalen) Periode

0 . . 2 π

stimmt das mit unserem Ergeb. überein.

Weiter viel Spass! ;-)

Slughorn aktiv_icon

00:07 Uhr, 12.01.2011

Danke für eure Hilfe ich glaube das ist erstmal ok für mich so

=)

und danke für den Hinweis mit

n = 0 . .

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