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maximales Existenzintervall

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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Differentiation, Existenz, Funktion, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Integration, Intervall

Nick2344 aktiv_icon

16:39 Uhr, 10.06.2017

Folgende Dgl ist gegeben:

y' - 2 y = 3 x^{2}

mit

y (0) = - 1

.

homogene Lösung:

y_{h} = c e^{\int - (- 2) d x} = c e^{2 x}

Variation der Konstanten

y' (x) = c' (x) e^{2 x} + 2 c (x) e^{2 x}

Einsetzten in Dgl:

c' (x) e^{2 x} = 3 x^{2}

daraus folgt:

c (x) = 3 \int x^{2} e^{- 2 x} d x = 3 [- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x} 2 x d x]

= 3 [- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} + \int e^{- 2 x} x d x] = 3 [- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 x}] = 3 [- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x}] + C =

also insgesamt

: y (x) = {3 [- \frac{1}{2} e^{- 2 x} x^{2} - \frac{1}{2} e^{- 2 x} x - \frac{1}{4} e^{- 2 x}] + C} e^{2 x} = - \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{4} + C e^{2 x}

mit

y (0) = - \frac{3}{4} + C = - 1

dann

C = - \frac{1}{4}

also:

y = - \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{3 x}{2} - \frac{3}{4} - \frac{1}{4} e^{2 x}

Wie finde ich jetzt mein Existenzintervall?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Lineare Ungleichungen - Fortgeschritten

ledum aktiv_icon

17:59 Uhr, 10.06.2017

Hallo
offensichtlich ist dein

y (x)

für alle

x \in ℝ

definiert.
Gruß ledum

Nick2344 aktiv_icon

18:35 Uhr, 10.06.2017

Danke:-) Ich habe noch eine Dgl:

x'' + 4 x = sin (2 t)

mit

x' (0) = x (0) = 0

Lösung ist:

\frac{1}{8} (sin (2 t) - 2 t cos (2 t))

Ist mein Existenzintervall dann auch

ℝ

ledum aktiv_icon

18:57 Uhr, 10.06.2017

ist für alle

t \in ℝ

definiert
aber vielleicht wollen die den allgemeinen Existenzsatz , mit der Lipschitzbedingung?
Gruß ledum

Nick2344 aktiv_icon

19:04 Uhr, 10.06.2017

Es gib auf das Lösen dieser beiden Dgls nur 2 Punkte . Es steht nur Lösen sie die DGL und bestimmen sie das maximale Existenzintervall.

Wie würde das dein Vorschlag angewandt hier aussehen?

ledum aktiv_icon

21:39 Uhr, 10.06.2017

Hallo
ich dachte an Satz von Picard-Lindelöf , aber für 2 Punkte ist das vielleicht zu viel. du hast ja eine Lösung, die überall existiert.
Gruß ledum

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