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mehrdimensionale Extremwerte

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Tags: Funktion

MathMP

21:04 Uhr, 27.09.2023

Hallo folgende Aufgabe

: f (x, y) = x^{2} + y^{2}

unter der Nebenbedingung:

\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1

. Finde alle lokalen und globalen Maxima/Minima!

Meine Lösung:
Einsetzmethode: Nebenbedingung umstellen:

\frac{x}{2} + \frac{y}{2} = 1 \to y = 2 - x

Einsetzen in

f (x, y) \to f (x) = x^{2} + {(2 - x)}^{2} = 2 x^{2} - 4 x + 4

Extremstellen von

f (x)

suchen :

f' (x) = 4 x - 4 = 0

4 x - 4 = 0 \to x = 1

zweite Ableitung um Typ des Kanditaten zu bestmmen:

f'' (x) = 4

also immer positiv für alle

x \to

nur Minima möglich

\to x = 1

ist ein Minimum

Dazugehöriger y-Wert von

f (x, y) : y = 2 - x = 2 - 1 = 1

P 1 : (1,1)

ist also ein (globales) Minimum von

f (x, y)

.

Sonst keine weiteren Minima oder Maxima. Mein Problem ist aber, dass Wolframalpha behauptet, dass es auch ein lokales Maximum gäbe. www.wolframalpha.com/input?i2d=true&i=maximize+x2%2By2%5C%2844%29Divide%5Bx%2C2%5D%2BDivide%5By%2C2%5D%3D1

Mache ich bei meiner Einsetzmethode etwas falsch oder warum stimmt meine Lösung mit Wolframalpha nicht überein?

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pivot aktiv_icon

22:24 Uhr, 27.09.2023

Hallo,

ich habe es über die geränderte Hessematrix gemacht. Und dann die Hauptminoren berechnet. Mit folgenden Ergebnissen:

det \tilde{H_{1}} = - 4

det \tilde{H_{2}} = 8

det \tilde{H_{3}} = - 16 \Rightarrow (lokales) Maximum

Gruß
pivot

calc007

22:44 Uhr, 27.09.2023

Hallo MathMP
Ich konnte deine Erklärungen gut nachvollziehen, und kann sie gutheißen.

Der Vollständigkeit halber könntest du das Minimum noch benennen.

Wolframalpha kenne ich zu wenig, als dass ich mir ein Urteil erlauben dürfte.
Vielleicht kann da jemand anderes besser beitragen.

MathMP

09:27 Uhr, 28.09.2023

Hmm aber komisch, dass man auf unterschiedlichen Rechenwegen unterschiedliche Ergebnisse bekommt. Das darf doch eigentlich nie sein...

Gibt es evtl. ein anderes Online Programm etc. damit man Ergebnisse überprüfen kann?

Respon

10:12 Uhr, 28.09.2023

Auch GEOGEBRA würde das einzige lokale Minimum

M i n (1 | 1 | 2)

bestätigen.

HAL9000

10:55 Uhr, 28.09.2023

Ziemlich verblüffend: Einen derart trivialen Fehler hätte ich Wolfram Alpha nicht zugetraut. Hoffentlich nur temporär und mit dem nächsten Update wieder korrigiert.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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