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Universität / Fachhochschule
Mengentheoretische Topologie
Tags: Mengentheoretische Topologie
 
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bitte Hilfe mit difinitionen ich verstehe die nicht_ und auch gute webseite geben mit Beispiele_ danke im voraus für die lösungen  Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Welche davon verstehst Du nicht? Sind ja viele. :-) Ich zeige Dir an einem Beispiel, kannst dann andere selber versuchen. Und zwar betrachte ich die Menge . Es ist hilfreich, die Zeichnung zu machen - dann siehst Du, dass es um einen Ring geht, ohne Ränder. Weiter prüfen wir die Eigenschaften, eine nach der anderen. Offen. Ja. Beweis: wenn aus , dann und deshalb existiert ein , so dass . Dann liegt die ganze Umgebung in . Abgeschlossen. Nein. Beweis: liegen in für alle , aber der Grenzwert dieser Folge liegt nicht in . Konvex. Nein. Beweis. und liegen in , aber liegt nicht in . Wegzusammenhängend. Ja. Das sieht man einfach geometrisch - denn es ist offensichtlich möglich, zwei beliebige Punkte aus durch eine Kurve innerhalb von zu verbinden. Beschränkt. Ja. Denn für alle aus gilt . Kompakt. Nein. Kompakte Menge sind abgeschlossen, aber nicht. Gebiet. Ja, weil offen, nichtleer und wegzusammenhängend - alles schon gezeigt. Einfach zusammenhängend. Nein, denn der Weg , also der Kreis vom Radius um , liegt ganz in , kann aber nicht auf einen Punkt innerhalb zusammengezogen werden, das "Loch" in der Mitte verhindert das. |
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danke sehr_ich werde in eine Stunde dann meine difinitionen schreiben für alle mengen _kannst du bitte dann überprüfen |
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m1: abgeschlossen konvex wegzusammenhängend beschränkt kompakt einfachzusammenhängend m2: offen wegzusammenhängend beschränkt Gebiet m3: offen wegzusammenhängend beschränkt einfachzusammenhängend Gebiet m5: offen einfachzusammenhängend kompakt einfachzusammenhängend |
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Bis auf - offen ist alles richtig ( ist abgeschlossen). Aber etwas unvollständig. :-) |
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M5 abgeschlossen beschränkt kompakt einfachzusammenhängend Gebiet kannst du noch gucken ich denke soll so sein aber nicht sicher_ es ist nicht so klar wegen R=0_ da ist nur kurze Strecke |
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ist kein Gebiet, weil eben nicht offen. ist eine Strecke, also quasi "eindimensional", aber das hindert nicht daran, abgeschlossen zu sein. Eine Strecke kann nicht offen sein, weil sie offensichtlich keine Kreise enthalten kann, und eine offene Menge auf der Ebene muss kleine Kreise um jeden Punkt enthalten. Aber eine Strecke kann abgeschlossen sein - wenn sie ihre Randpunkte enthält. Eine Strecke ohne Randpunkte ist weder offen noch abgeschlossen. Was Dir noch fehlt: nicht einfach zusammenhängend, weil da auch ein "Loch" drin gibt, den Punkt . Alle anderen Mengen sind einfach zusammenhängend. ist auch nicht konvex, weil die Mitte der Strecke zwischen und nicht in liegt (eben wieder der Punkt ). Und auch ist nicht konvex, in diesem Fall kannst Du z.B. die Strecke zwischen und nehmen, wo die Ränder in liegen, die Mitte aber nicht. Bei allen abgeschlossenen kannst Du auch schreiben "kein Gebiet". Sonst ist alles OK, glaube ich |
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danke sehr_ noch eine Frage wie soll man dann das machen? Bestimme den Rand der Mengen M2 und M4? wie macht man das |
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Den Rand sieht man normalerweise. :-) Aber der Beweis geht nur über die Definition: besteht aus allen solchen , dass jede Umgebung für sowohl Punkte aus wie auch nicht aus enthält ( ist irgendeine positive Zahl). Z.B. der Rand . Wenn und eine Umgebung mit , dann haben wir klar in sowohl Punkte mit wie auch Punkte mit , also Punkte aus und nicht aus . Damit liegt auf dem Rand. Für enthält jede Umgebung sowohl einen Punkt nicht aus (das ist selber) wie auch Punkte aus (alle anderen Punkte der Umgebung) . Dass am Rand von keine anderen Punkte liegen, folgt daraus, dass sowohl als auch offen sind. Solche Beweise sind mühsam, aber normalerweise werden sie auch nicht gefordert. Und was für Rand eine Menge hat, das sieht man einfach fast immer "mit bloßem Auge". |
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danke |
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für M4 kannst du noch Rand bitte sagen? |
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danke sehr |
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