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messbare und nicht messbare Abbildungen

Universität / Fachhochschule

Zufallsvariablen

Tags: Zufallsvariablen

ray11 aktiv_icon

14:40 Uhr, 25.03.2020

Hi, ich habe etwas Verständnisprobleme bezüglich messbaren Abbildungen.

Wir betrachten die beiden messbaren Räume

(Ω_{D}, F_{D})

sowie

(Ω_{B}, F_{B})

mit

Ω_{D} = {1,2,3}, F_{D} = σ ({{1}}), Ω_{B} = {a, b, c, d}, F_{B} = σ ({{a, b}})

. Geben Sie jeweils zwei Beispiele für messbare und nicht messbare Abbildungen

X : Ω_{D} \to Ω_{B}

an.

Ich habe mir zuerst die

σ -

Algebren

F_{D}

und

F_{B}

hingeschrieben.

F_{D} = σ ({{1}}) = {\emptyset, Ω, {1}, {2,3}}

F_{B} = σ ({{a, b}}) = {\emptyset, Ω, {a, b}, {c, d}}

Jetzt weiß ich, dass

X

ist messbar bedeutet

\Leftrightarrow \forall A \in F_{B} : X^{- 1} (A) \in F_{D}

Nun haben wir Beispiellösungen für messbare und nicht messbare Abbildungen bekommen.
messbare Abbildung

X :

1 \mapsto c,

2 \mapsto a,

3 \mapsto b

Hier müsste jetzt

X^{- 1} ({c})

existieren, aber

{c}

existiert ja gar nicht als einzelne Menge in

F_{B},

sondern nur

{c, d}

.

nicht messbare Abbildung

X :

1 \mapsto a,

2 \mapsto b,

3 \mapsto c

Was ist bei den beiden Abbildungen nun der Unterschied? warum ist die eine messbar und die andere nicht?
Was ist mit dem

d

im Bildbereich, das gar kein Urbild hat? Wäre dann

X^{- 1} ({d}) = \emptyset

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

15:03 Uhr, 25.03.2020

Hallo,

in deiner Definition der Messbarkeit steht, dass du nur die Urbildmengen
der Mengen aus

F_{B}

untersuchen musst !

Gruß ermanua

ray11 aktiv_icon

15:24 Uhr, 25.03.2020

Hm, ok.
Also wäre dann beim ersten Beispiel (welches messbar sein sollte)

X^{- 1} ({c}) = {1} \in F_{D}

(passt also)

X^{- 1} ({a}) = {2},

aber

{2} \notin F_{D},

nur

{2,3}

wäre in

F_{D}

.
somit wäre es keine messbare Abbildung?

ermanus aktiv_icon

15:29 Uhr, 25.03.2020

{c}

liegt doch gar nicht in

F_{B}

. Warum untersuchst du dann

X^{- 1} ({c})

? Das kann uns doch vollkommen egal sein ...

ray11 aktiv_icon

15:35 Uhr, 25.03.2020

Achso, ich muss ja nur die Mengen in

F_{B}

untersuchen.
Ok nochmal: also zu untersuchen sind

\emptyset, Ω, {a, b}, {c, d}

X^{- 1} (\emptyset) = \emptyset \in F_{B}

(vermute ich mal)

X^{- 1} (Ω) =

keine Ahnung, es wird ja nichts auf ganz

Ω

abgebildet

X^{- 1} ({a, b}) =

keine Ahnung, da auch hier nichts auf die Menge abgebildet wird
selbes für

{c, d}

Ich kann doch die Urbilder nur bestimmen wenn ich die Elementarereignisse

{a}, {b}, . .

. in

F_{B}

hätte oder?

ermanus aktiv_icon

15:41 Uhr, 25.03.2020

Machen wir es mal systematisch. Den ganzen Raum und die leere Menge lasse ich mal weg.

X^{- 1} ({a, b}) := {x \in Ω_{D} ∣ X (x) \in {a, b}} = {2, 3} \in F_{D}

.
Nun du mit

{c, d}

...
Warum soll man die Urbildmengen nicht bestimmen können ???

ray11 aktiv_icon

16:02 Uhr, 25.03.2020

Ok, verstehe. Man sieht sich von der Menge

{a, b}

die Urbilder jedes einzelnen Elementes an und erstellt danach wieder eine Menge. Quasi

X^{- 1} ({a}) = {2}

und

X^{- 1} ({b}) = {3},

das ergibt dann

{2,3}

.
Mich verwirrte nur das, dass ich dachte man müsste die Mengen als einzelne Elemente auffassen.
Also dann für

{c, d} :

X^{- 1} ({c}) = {1}

und

X^{- 1} ({d}) = \emptyset,

{1} \cup \emptyset = {1} \in F_{D}

. Somit ist es messbar, vorausgesetzt die Urbilder der leere Menge bzw des ganzen Raumes ändern nichts daran.

Dann versuche ich direkt das zweite Beispiel, das nicht messbar sein sollte:
hier hatte ich ja:

1 \mapsto a

2 \mapsto b

3 \mapsto c

X^{- 1} ({a, b}) = {1,2} \notin F_{D},

also bin ich schon fertig und diese Abbildung ist nicht messbar. Oder?

ermanus aktiv_icon

16:02 Uhr, 25.03.2020

Habe gerade noch mal editiert: aus

D

habe ich

Ω_{D}

gemacht.

ermanus aktiv_icon

16:08 Uhr, 25.03.2020

Ja, jetzt hast du es wohl verstanden ;-)

X^{- 1}

ist nicht die Umkehrabbildung zu

X

, sondern die Mengenabbildung

P (Ω_{B}) \to P (Ω_{D})

, die jeder Teilmenge von

Ω_{B}

die Teilmenge von

Ω_{D}

der Urbilder unter

X

zuordnet,
wobei ich mit

P

die Potenzmenge meine.

ray11 aktiv_icon

16:09 Uhr, 25.03.2020

Alles klar, vielen Dank.
Das hat mir geholfen.

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