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metrischer Raum, normierter Vektorraum

Universität / Fachhochschule

Tags: unterschied

 
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Didgeridoo

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15:57 Uhr, 07.03.2011

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Wir haben in Analysis normierte Vektorräume und metrische Räume eingeführt.
Im normierten Vektorraum gilt:
1)||x||≥0 und ||x||=0⇔x=0
2)||λ⋅x||=|λ|⋅||x||
3)||x+y||≤||x||+||y||
Und im metrischen Raum gilt:
1)d(x,y)≥0 und d(x,y)=0⇔x=y
2)d(x,y)=d(y,x)
3)d(x,z)≤d(x,y)+d(y+z)

Nun meine Frage: Wieso macht man diese Unterscheidung überhaupt, d(x,y) ist ja so oder so nichts anderes als ||x,y||. Warum führt man das dann überhaupt metrische Räume ein?

Das ist bloss eine reine Interessensfrage, aber es wäre trotzdem schön, wenn mir das jemand erklären könnte...
Vielen Dank schon im Voraus!
Online-Nachhilfe in Mathematik
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OmegaPirat

OmegaPirat

16:47 Uhr, 07.03.2011

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Hallo

Ein metrischer Raum ist allgemeiner als ein normierter Raum. Jeder normierte Raum ist ein metrischer Raum, aber nicht jeder metrische Raum ist ein normierter Raum. Dazu gleich mehr.


Die Norm und die Metrik unterscheiden sich hauptsächlich dadurch, dass man bei der Norm nur ein Element eines Vektorraums eine Zahl zuordnet, während man bei metrik einem Tupel eine Zahl zuordnet.

Das bedeutet:

Es sei V ein Vektorraum, K ein Körper und x,y∈V
Dann ist die Norm eine Abbildung V->K (plus zusätzliche Axiome)
Die Metrik ist eine Abbildung V×V→K (plus zusätzliche Axiome)



Jede Norm induziert eine Metrik über d(x,y)=||x-y||
Frage beantwortet
Didgeridoo

Didgeridoo aktiv_icon

17:36 Uhr, 07.03.2011

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Ok, vielen Dank, habs verstanden!!! :-)