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minimaler Abstand Extrempunkt zu Punkt

Schüler

Tags: Analysis, funktionsschaar

moin432 aktiv_icon

16:06 Uhr, 19.09.2015

Hallo
ich habe ein Problem mit einer Aufgabe zu dieser Funktionsschar: fk(x)=x2−k*x^3

Ich soll nun den Extrempunkt mit dem minimalen Abstand zu dem Punkt

02

bestimmen.

Die Extrempunkte habe ich bereits ausgerechnet sie sind:

E 1 (\frac{0}{0})

und

E 2 (\frac{2}{3 \cdot k} / \frac{4}{27 k^{2}})

Der Abstand von

E 1

ist ja für jede Funktion der Funktionsschar 2. Wie man den Abstand von

E 2

ausrechnet denke ich mir so:

d =

Wurzel aus

{({(\frac{2}{3 \cdot k})}^{2} + (2 - \frac{4}{27 \cdot k^{2}}))}^{2}

Ist das so richtig?
Wenn ja, dann habe ich ja die allgemeine Formel für den Abstand von

E 2

zu dem Punkt

02

. Ich verstehe nun aber absolut nicht, wie ich auf den minimalen Abstand komme.

Das ist der Punkt an dem ich nicht weiter komme. Kann mir jemand helfen?

Die Lösung sagt mir, dass

k - 0,544

und

+ 0,544

ist.

Danke schon mal für eure Hilfe! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

CKims aktiv_icon

16:15 Uhr, 19.09.2015

ist vom prinzip her alles richtig, du schreibst nur einmal

(2 | 0)

und dann

(0 | 2)

aber ich geh mal davon aus, dass du letzteres meintest. ausserdem ist das hintere "hoch 2" bei deiner abstandsformel eine klammer zu weit nach hinten gerutscht

jetzt musst du das minimum der abstandsfunktion finden... wie findet man das minimum einer funktion?

moin432 aktiv_icon

16:48 Uhr, 19.09.2015

Ja genau, ich meinte letzteres und die hoch 2 ist wirklich eine klammer nach hinten gerutscht. :-)
Muss ich die Ableitung bilden und mit 0 gleichsetzen? Aber wie bilde ich da die Ableitung?

CKims aktiv_icon

16:51 Uhr, 19.09.2015

kettenregel

moin432 aktiv_icon

16:55 Uhr, 19.09.2015

Das habe ich bereits versucht aber irgendwie bekomme ich das nicht mehr hin. Kannst du mir sagen, wie die Ableitung richtig heißt? Dann kann ich das später üben komme aber jetzt erstmal zur Lösung dieser Aufgabe.

Eva88 aktiv_icon

17:25 Uhr, 19.09.2015

Ckims scheint weg zu sein, dann mache ich mal weiter.

Erstmal die Quadrate in den Klammern beseitigen.

moin432 aktiv_icon

17:38 Uhr, 19.09.2015

lösen die sich mit dem Wurzelzeichen auf?

Eva88 aktiv_icon

17:43 Uhr, 19.09.2015

Ja das fällt raus weil die andere Seite 0 ist.

Löse aber erstmal die Quadrate.

moin432 aktiv_icon

17:44 Uhr, 19.09.2015

Ich glaube ich kann die Ableitung bilden, wenn ich mir die Kettenregel noch einmal genau ansehe. Aber wenn ich die Ableitung dann habe, muss ich sie dann nur noch mit 0 gleichsetzen und auflösen?
Komme ich dann auf das

k,

das den dichtesten Abstand zu

02

hat?

Oder muss ich noch etwas beachten?

Eva88 aktiv_icon

17:46 Uhr, 19.09.2015

Genau,Ableitung bilden und 0 setzen, dann hast du

k

Eva88 aktiv_icon

18:25 Uhr, 19.09.2015

\sqrt{\frac{4}{9 k^{2}} + 4 - \frac{16}{27 k^{2}} + \frac{16}{719 k^{4}}}

\sqrt{\frac{2916 k^{4} - 108 k^{2} + 16}{729 k^{4}}}

Jetzt mit Quotientenregel

\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^{2}}

Wurzel und

v^{2}

können weg, da 0 gesetzt wird.

. .

. Stunden später dann

157464 k^{5} = 46656 k^{3}

k^{2} = 0,2962

k = \pm 0,544331

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