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minimaler weg zwischen 2 Punkten auf einem Berg
Universität / Fachhochschule
Funktionen
Tags: Extremalaufgabe, Wegintegral
 
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Hallo, folgende Aufgabenstellung habe ich mir ausgedacht. Gegeben ist eine Oberfläche die durch eine allgemeine Funktion beschrieben werden kann. Als Beispiel in expliziter Form mit der Höhe wobei eine Funktion von . Weiters sind die Punkte und mit ihren Koordinaten gegeben. und Welcher Kurve zwischen den beiden Punkten und minimiert den Weg auf der Oberfläche? Ich dachte mir das ein Weg/Kurven Integral mich weiter bringen würde. Allerdings ist am Anfang nicht bekannt wie die Funktion parametrisiert sein muss um den Weg zu minimieren. Unter der Annahme das der Weg so beschrieben werden kann: Und das Integral zwischen und ausgewertet wird. die Parametrisierung der Kurve ist abhängig von der Variable . Um ein Extrema zubinden muss gelten das und für ein Minimum muss zusätzlich gelten das die zweite Ableitung größer Null ist. Meine Frage ist nun , ist es zulässig das ich das Kurvenintegral dann nicht auszurechnen brauche? sondern gleich folgendes hinschreiben kann: Der zweite Gedanke war folgender: für eine den Weg einer Funktion die nur von abhängt ist folgende aussage gültig: kann die Gleichung so erweitert werden das sie für das gestellte Problem anwendbar ist? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo leider ist das Problem nicht so einfach, du hast ja nicht irgendeine Kurve von nach sondern, die muss auf der Fläche verlaufen! Was du suchst ist eine Geödete, auf der Kugel Großkreise, in der Ebene Geraden. Unter dem Begriff Geödete kannst du suchen, aber eigentlich braucht man dazu Grundbegriffe der Differentialgeometrie, Gruß ledum |
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Also ich hab's nicht so mit der Öde, gemeint ist Geodäte ;-) |
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hm, als Lösung muss die "Geradheit" des Weges dann von der Krümmung des Berges abhängen... ich kann ja den Weg in der x und y Richtung mit einer unbekannten Funktion "paramterisieren", die Z Richtung ist durch die Funktion f(x,y) fest vorgegeben. |
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Hallo mit "einer" unbekannten funktion parametrisieren? es gibt ja unendlich viele Kurven von nach davon musst du die kürzeste finden. Wenn du sie hättest ist es nicht zu schwer, zu zeigen, dass es die kürzeste ist. Aber nimm mal an, in der Ebene weiss man nicht, dass gerade Strecken die kürzesten sind. du hast 2 Punkte, dazwischen beliebig viele Kurven, jetzt finde die Gerade! Gruß ledum |
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Vl. kann man es mit der Variationsrechnung zeigen... nur habe ich davon noch keine Ahnung... de.wikipedia.org/wiki/Variationsrechnung |
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Hallo dann solltest du deine Idee bis zum lernen von Variationsrechnung oder Differentialgeometrie aufgeben. Gruß ledum |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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