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minimales Erzeugendensystem bestimmen
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Tags: basis, Erzeugendensystem, Vektorraum
 
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Hallo, Ich habe folgenden Vektorraum gegeben: wobei Jetzt möchte ich ein minimales Erzeugendensystem bestimmen. Nun muss ich ja drei linear unabhängige Vektoren finden deren Linear Kombination den Vektorraum aufspannt. Und die drei Vektoren müssen allesamt die Bedingung erfüllen. Durch stumpfsinniges Einsetzen von irgend welchen Werten die gemeinsam die Gleichung erfüllen bin ich nicht besonders weit gekommen. Daher wollte ich fragen ob mir jemand dazu einen Tipp geben kann, wie man sowas am elegantesten löst! :-) LG |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Wenn dein Vektorraum dem Raum entspricht, sodass gilt dann bedeutet das, dass alle Elemente deines Vektorraumes Orthogonal zu sind. Denk mal darüber nach, wie viele linear unabhängige Vektoren du konstruieren kannst die Orthogonal zu stehen. Und wie deren gegenseitige Lage sein muss. Wer sagt, dass du 3 Vektoren braucht, um den Vektorraum aufzuspannen? Grüße Tobi |
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Hallo Tobi, danke für deine rasche Antwort. Ich hab das jetzt so gelöst: Ich habe mir einen beliebigen Vektor, der orthogonal auf meinen Vektor steht ausgedrückt . und dann das Kreuzprodukt der zwei Vektoren berechnet, wodurch ich den Vektor erhalte der ja normal auf und a steht. Und daher auf der Ebene, die meinen Vektorraum bildet, liegt und zudem linear unabhängig zu a ist. Lieg ich da richtig? Aber was ich nicht verstehe ist, wieso ich nur zwei Basisvektoren benötige, normalerweise heißt es doch immer dass die Dimension ausschlaggebend ist über die Anzahl der Basisvektoren. Liegt dass daran, dass wir nur einen Unterraum betrachten? LG |
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ist eine Ebenengleichung im Raum - natürlich hat der zugehörige Unterraum nur Dimension 2. Mit deiner Methode hast du nun mit und sogar eine orthogonale Basis von . Es hätten auch die ohne große Rechnung aufstellbaren und getan: Zwar nicht orthogonal, aber immer noch eine Basis von . P.S.: Womöglich verwechselst du Basis von mit Basis von , letztere benötigt natürlich tatsächlich drei Vektoren. |
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Danke! Hab verstanden LG |
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