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minimales n gezinkter Würfel

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Verteilungsfunktionen

Zufallsvariablen

Tags: Verteilungsfunktion, Zentraler Grenzwertsatz, Zufallsvariablen

shiroxx aktiv_icon

15:21 Uhr, 25.06.2020

Guten Abend,

ich habe noch einige Probleme mit dem zentralen Grenzwertsatz und im speziellen mit dieser Aufgabe:

Bei einem gezinkten Würfel, wollen Sie die Wahrscheinlichkeit

p \in (0.1)

für das Auftreten einer Sechs ermitteln. Dazu wird der Würfel

n

Mal unabhängig geworfen. Sei

X_{i} = \ b e g i n c a s e s

1 & \textrm{falls im i-ten Wurf eine Sechs geworfen wird} \\
0 & \textrm{sonst.} \\
\end{cases}

Ermitteln Sie mit dem zentralen Grenzwert approximativ die minimale Anzahl

n

von Wüfeln, sodass

p

durch

\overline{X_{n}} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

bis auf einen Fehler von

0, 01

mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens

0, 9

geschätzt werden kann.
Ich hab jetzt schon mühsam rausbekommen ,dass folgendes gesucht ist

P (∣ {\overline{X}}_{n} - p ∣ \leq 0.01) \geq 0.9

Ich weiß dass der Erwartungswert von

{\overline{X}}_{n}

p

und die Varianz

p (1 - p) / n

ist.
Jetzt muss ich irgendwie verwenden, dass

{\overline{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2})}{n}

für

n

gegen unendlich oder?
Vielleicht könnt ihr mir ja weiterhelfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

15:25 Uhr, 25.06.2020

Du sollst verwenden, dass

\frac{{\overline{X}}_{n} - p}{\sqrt{p (1 - p) / n}}

ungefähr

N (0, 1)

-verteilt ist. Das sagt uns der zentrale Grenzwertsatz

shiroxx aktiv_icon

15:37 Uhr, 25.06.2020

Erstmal vielen Dank,
aber ich verstehe nicht ganz wie das mit der Aufgabe

P (∣ {\overline{X}}_{n} - p ∣ \leq 0.01) \geq 0.9

zu tun hat. Ich habe ja nicht die Form

\frac{{\overline{X}}_{n} - p}{\sqrt{(p (1 - p) / n)}}

DrBoogie aktiv_icon

15:46 Uhr, 25.06.2020

Du hast sie nicht, du kannst sie aber bekommen. Denn offensichtlich gilt

P (∣ \overline{X_{n}} - p ∣ \leq 0.01) = P (∣ \frac{\overline{X_{n}} - p}{\sqrt{p (1 - p) / n}} ∣ \leq \frac{0.01}{\sqrt{p (1 - p) / n}})

shiroxx aktiv_icon

15:54 Uhr, 25.06.2020

Oh, natürlich muss ich jetzt schauen, wann

Φ (x) \geq 0, 9

ist? da hätte ich dann laut Tabelle

x = 1, 29

jetzt muss ich damit ja noch auf n schließen

DrBoogie aktiv_icon

16:00 Uhr, 25.06.2020

Nicht ganz. Denn

Φ (x)

ist

P (Y \leq x)

für

Y \sim N (0, 1)

.
Du brauchst aber

P (∣ Y ∣ \leq a)

, also

P (- a \leq Y \leq a) = P (Y \leq a) - P (Y \leq - a) = 2 P (Y \leq a) - 1 = 2 Φ (a) - 1

wegen der Symmetrie-Eigenschaft von

N (0, 1)

. (

a

ist dabei dieser Bruch, den ich hier zu faul bin zu schreiben).
Damit geht es um

Φ (a) = 0.95

shiroxx aktiv_icon

16:02 Uhr, 25.06.2020

Stimmt, der Betrag! Vielen Dank

shiroxx aktiv_icon

16:08 Uhr, 25.06.2020

Dann ist

Φ (a) = 0, 95

mein

p

? oder und setzte dass dann wieder ein um

n

zu bestimmen?

DrBoogie aktiv_icon

16:11 Uhr, 25.06.2020

Ne, mit

p

hat es nichts zu tun. Du brauchst

a

, also

Φ^{- 1} (0.95)

. Und dann nach

n

umstellen.

p (1 - p)

musst du dabei abschätzen. Maximum ist

0.25

HAL9000

16:23 Uhr, 25.06.2020

p (1 - p)

musst du dabei abschätzen. Maximum ist 0.25.

Wobei das mit 0.25 die worst-case-Abschätzung ist für einen derart arg gezinkten Würfel ist, wo die 6 mit Wkt 1/2 fällt.

Wenn man die Abschätzung verbessern will in Richtung eines nicht so großen benötigten

n

, dann stößt man gewissermaßen auf ein Henne-Ei-Problem: Wir kennen

p

noch nicht, benötigen aber seine ungefähre Größe um abzuschätzen, wieviele Würfe wir brauchen, um

p

in der geforderten Genauigkeit zu schätzen...

pivot aktiv_icon

16:53 Uhr, 25.06.2020

Hast du die ufgabe auch schon bei math.stackexchange gepostet?
math.stackexchange.com/questions/3733382/central-limit-theorem-with-a-biased-dice

shiroxx aktiv_icon

23:52 Uhr, 25.06.2020

Ja, hab ich aber wenig erfolgreich, weil ich da noch viel zu wenig wusste

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