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mittels Lagrange Funktion Volumen von Zylinder

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Lagrangeverfahren, mehrdimensionale Analysis, Zylinder

potu1304 aktiv_icon

14:38 Uhr, 07.06.2015

Hallo!
Ich soll mittels Lagrange Funktion unter allen Zylindern mit gleicher Oberfläche jenen mit größtem Volumen bestimmen.
Da habe ich nun mal

O = 2 r^{2} π + 2 π r h

und

V = r^{2} π h

Ich nehme mal an dass

V

meine NB ist, liege ich da richtig?
Wenn ja, nach was leite ich dann ab? Nach

r

und h?
Das wäre dann ja:

L (r, h, λ) = 2 π r^{2} + 2 π r h + λ (r^{2} π h)

\frac{\partial L}{\partial r} = 4 r π + 2 π h + 2 λ r π h

\frac{\partial L}{\partial h} = 2 π r + λ r^{2} π

\frac{\partial L}{\partial λ} = r^{2} π h

Ist das so richtig? Muss ich mir jetzt dann nur

r

und

h

ausdrücken und dann in

V

einsetzen?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Zylinder (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen und Oberfläche eines Zylinders

Richard23 aktiv_icon

18:05 Uhr, 07.06.2015

Es ist genau andersherum. Du sollst ja das Volumen maximieren unter der NB, dass die Oberfläche des Zylinders gleich ist.
Somit hast du folgende Funktionen:

V = r^{2} π h

und

O = 2 r^{2} π + 2 π r h = c

wobei

c

ein konstanter Wert ist, der für alle Zylinder gleich sein soll. Daraus ergibt sich folgende Lagrangefunktion:

L (r, h, λ) = r^{2} π h - λ (2 r^{2} π + 2 π r h - c)

Den Rest kannst du dann berechnen, ich schaue mir gerne deine Lösung an.

potu1304 aktiv_icon

11:03 Uhr, 10.06.2015

Ok bin erst jetzt zum rechnen gekommen.
Mein Ergebnis wäre

r = \frac{h}{2}

Aber ich sehe gerade, dass es

- λ (2 π r^{2} + 2 π r h)

ist. Wieso minus?

LG

pleindespoir aktiv_icon

11:53 Uhr, 10.06.2015

Das Vorzeichen von dem Lamm da ist egal.

potu1304 aktiv_icon

12:18 Uhr, 10.06.2015

Ja, habs selber gemerkt. Das heißt

V = {(\frac{h}{2})}^{2} \cdot π \cdot 2 r

pleindespoir aktiv_icon

20:53 Uhr, 10.06.2015

WAS soll das heissen ?

Kristallkugel vom Tisch gerollt - bitte beschreibe Deine Gedanken durch gezielte Berührungen der Fingerspitzen auf dem human interface device vor Deinem Nabel.

potu1304 aktiv_icon

22:45 Uhr, 10.06.2015

Haha ok dann bediene ich es mal.
Ich habe die Lagrange Funktion aufgestellt und alles einmal abgeleitet, also nach

r, h

und

λ

. Dort habe ich dann mir dann

λ

ausgedrückt und eingesetzt und erhalten dass

r = \frac{h}{2}

ist. Daher

h = 2 r

.
Und jetzt glaube ich, dass das das ergebnis ist und habe es in die Formel für das Volumen eingesetzt, aber vermute, da du nachfragst, dass es nicht stimmt ;-)

LG

pleindespoir aktiv_icon

00:17 Uhr, 11.06.2015

anstelle zu erzählen,

w a s

Du gemacht hast, zeige

w i e

Du es gemacht hast - etwa so:

Zeh ist die angenommene Oberfläche (konstant)
Um unnötiges Vorzeichengewurschtel zu vermeiden, kommt ein Pluszeichen und kein Minus vor das Lamm da, obwohl irgendwelche Profs das gerne so sähen.

L (r, h, λ) = r^{2} π h + λ (2 r^{2} π + 2 π r h - C)

Die partiellen Ableitungen:

\frac{\partial L (r, h, λ)}{\partial Λ} = 2 r^{2} π + 2 π r h - C

\frac{\partial L (r, h, λ)}{\partial r} = 2 r π h + λ 4 r π + λ 2 π h

\frac{\partial L (r, h, λ)}{\partial h} = r^{2} π + λ 2 π r

Deren Nullstellen:

0 = 2 r^{2} π + 2 π r h - C

0 = 2 r π h + λ 4 r π + λ 2 π h

0 = r^{2} π + λ 2 π r

---
Vereinfachen:

C^{*} = r^{2} + r h

0 = r h + λ 2 r + λ h

0 = r^{2} + λ 2 r

---

C^{*} = r \cdot (r + h)

0 = r h + λ \cdot (2 r + h)

λ 2 r = - r^{2}

---

C^{*} = r \cdot (r + h)

λ = - \frac{r h}{(2 r + h)}

λ = - \frac{r}{2}

--- 2. von 3. Gleichung abziehen , um das blöde Lamm da wegzubekommen.

C^{*} = r \cdot (r + h)

0 = \frac{r}{2} - \frac{r h}{(2 r + h)}

--- Erweitern zum Hauptnenner

C^{*} = r \cdot (r + h)

0 = \frac{r (2 r + h)}{2 (2 r + h)} - \frac{2 r h}{2 \cdot (2 r + h)}

Wenn aus diesem langen steinigen Weg etwas unglückliches vorgefallen sein sollte, lässt sich das von einem aussenstehenden Nichtkristallkugelbenutzer wenigstens nachvollziehen, wo und was dumm gelaufen ist.

Du darfst hier weitermachen oder Deinen Lösungsweg präsentieren.

Atlantik aktiv_icon

09:43 Uhr, 11.06.2015

Kontrollweg ohne

λ

V (r, h) = Π r^{2} \cdot h

soll maximal werden.

NB.

O = 2 r P i h + 2 r^{2} Π

2 r Π h = O - 2 r^{2} Π

h = \frac{O - 2 r^{2} Π}{2 r Π}

V (r) = \frac{Π r^{2} \cdot (O - 2 r^{2} Π)}{2 r Π} = \frac{r \cdot (O - 2 r^{2} Π)}{2} = \frac{1}{2} r O - r^{3} Π

[\frac{1}{2} r O - r^{3} Π]

= \frac{1}{2} O - 3 r^{2} Π

\frac{1}{2} O - 3 r^{2} Π = 0

r^{2} = \frac{1}{6} \cdot \frac{O}{Π}

r = \sqrt{\frac{O}{6 Π}}

mfG

Atlantik

potu1304 aktiv_icon

15:25 Uhr, 11.06.2015

Ok, ich sehe ich habe einen Fehler beim integrieren gemacht. Habe es nach deinem(pleindespoir) Vobild gerechnet und habe komme auf das gleiche wie du.
Dann habe ich gemacht:

r (2 r + h) =

2rh /Also mal 2*(2r+h)und dann auf die jeweilige Seite gebracht.

Dann durch

r :

2 r + h = 2 h

2 r = h

oder

r = \frac{h}{2}

Also doch das gleiche Ergebnis?
Und das dann in Volumen eingesetzt:

V = {(\frac{h}{2})}^{2} π 2 r

Fehlt noch was?

pleindespoir aktiv_icon

19:29 Uhr, 11.06.2015

Allerdings fehlt was - nämlich das Verhältnis von r zu h bei gegebener Oberfläche, um das maximale Volumen zu bekommen.

Du hast zwar ein Ergebnis, aber das ist so nützlich wie die Wettervorhersage, wenn man wissen will, wieviel UIhr es ist.

potu1304 aktiv_icon

19:36 Uhr, 11.06.2015

Also in die Oberfläche einsetzen?

pleindespoir aktiv_icon

19:50 Uhr, 11.06.2015

meinen Lösungsansatz fertig weiterbearbeiten, wie bereits empfohlen.

Das Volumen interessiert kein S... - lt. Aufgabenstellung soll es maximal sein und die Oberfläche ist irgendwie als Parameter festgelegt.

Es gilt also die Beziehung von Durchmesser zu Höhe oder Oberfläche zu Höhe oder Oberfläche zu Durchmesser oder alles umgekehrt oder alles zusammen zu bestimmen.

Wie du am Ende das Volumen in Deine "Lösung" bekommst lässt sich bei Gott nicht erklären und deshalb wollte ich Deine Wege der Gleichungsbearbeitung sehen.

vorgetanzt habe ich jetzt schon mehr als gut ist ...
... und ich bin bestimmt nicht der Erste - ich vermute mal dass Du Unterricht besucht hast und da passiert genau das:

Jemand schreibt es richtig an die Tafel einige schreiben fast richtig ab und genau niemand rafft, was er tut.

potu1304 aktiv_icon

19:54 Uhr, 11.06.2015

Ich habe ja

r = \frac{2}{h}

rausbekommen und setze dann das

r

in die Volumen Formel ein und das

h = 2 r

. Aber ich denke mir eh, dass das zu leicht wäre.

Aber ja so läuft es oft ab, ab er hier ist es so, dass ich der gescheite sein will und es an die Tafel schreibe und das versteht dann keiner ;-)

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