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modulo-Gleichung aufstellen und lösen

Universität / Fachhochschule

Tags: Divisionsrest, Gleichung., Modulo Arithmetik

 
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hanswurst2

hanswurst2 aktiv_icon

10:53 Uhr, 16.03.2023

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Hallo,

folgendes Problem:

Ich weiß das wenn ich zur Zahl 10 eine quadratische Zahl x addiere (x0) erhalte ich modulo 13 (möglicherweise) irgendwann als Ergebnis 5 erhalte. Nun könnte ich natürlich einfach durchprobieren...

Also (10+0)mod13=10,(10+1)mod13=11,(10+4)mod13=1,(10+9)mod13=6,(10+16)mod13=0 usw. und schauen wann/ob als Ergebnis irgendwann 5 auftaucht.


Irgendwie fehlt mir der Lösungsansatz um das x zu berechnen für

(10+x2)mod13=5

Wer kann weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

michaL aktiv_icon

11:48 Uhr, 16.03.2023

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Hallo,

die Gleichung
x2+105 mod 13
kann vereinfacht werden zu:
x28 mod 13

Letztere Gleichung stellt die Frage, ob 8 ein Quadrat modulo 13 ist. Ja, das kann man per Ausprobieren verneinen.
Allerdings gibt es auch das eulersche Kriterium, das besagt, dass a=8 genau dann quadratische Rest mod der ungeraden Primzahl p=13 ist, wenn ap-121 mod p gilt.
Also: 86=262144-1 mod 13.

Demnach ist 8 kein quadratischer Rest mod 13, damit die untere Gleichung und damit auch die obere Gleichung nicht lösbar.

Mfg Michael
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HAL9000

HAL9000

13:39 Uhr, 16.03.2023

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Ergänzung: Man kommt auch mit "kleinerer" Zahlenrechnung hin, denn a=bc2 ist genau dann quadratischer Rest modulo m, wenn es auch b ist.

Im vorliegenden Fall mit a=8,b=c=2,m=13 reicht daher auch bereits die Überprüfung für 26=64-1 mod 13, oder man nutzt hier gleich den 2.Ergänzungssatz zum Quadratischen Reziprozitätsgesetz.


> Ja, das kann man per Ausprobieren verneinen.

Ich würde besser alles vor dem Komma weglassen - so mancher könnte ansonsten verunsichert sein... :-)
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