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n mal würfeln

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Tags: Erwartungswert, Verteilung, Wahrscheinlichkeit

Trilobit05 aktiv_icon

10:47 Uhr, 05.07.2018

Guten Tag,

Ein sechsseitiger fairer Würfel wird

n

mal geworfen.

a)

Geben Sie die Verteilung und den Erwartungswert für das Ereignis zum ersten mal eine sechs Würfeln an.

Also zunächst ist ja

Ω = {1,2,3,4,5,6}^{n}, P

die Laplace Verteilung auf

Ω

und weiter

| Ω | = 6 n

.

Hier habe ich mir überlegt, dass ich folgendes Ereignis betrachten muss

A = {(ω_{1}, ... ., ω_{n}) | ω_{1}, ..., ω_{n - 1} \neq 6, ω_{n} = 6

und dann erhalte ich

P (A) = \frac{1}{6} ({\frac{5}{6}}^{n - 1})

Ich habe jetzt die Wahrscheinlichkeit berechnet. In der Aufgabe steht die Verteilung und Erwartungswert, das wäre mein erstes Problem, was ist damit gemeint?

b)

Geben Sie die Verteilung und den Erwartungswert für das Ereignis zum ersten mal eine fünf oder eine sechs Würfeln an.

Hier bräuchte ich auch Hilfe.

Vielen Dank!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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11:00 Uhr, 05.07.2018

de.wikipedia.org/wiki/Erwartungswert#W%C3%BCrfeln

pivot aktiv_icon

11:06 Uhr, 05.07.2018

Hallo,

soweit richtig. Die Wahrscheinlichkeitsfunkion der Verteilung ist dann

f (x) = \frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{x - 1}, x \in N^{+}

0, sonst

(Ich kann die Fallunterscheidungsklammer hier nicht darstellen.)

Und der Erwartungswert ist

E (X) = \sum_{x = 1}^{\infty} x \cdot f (x) = \sum_{x = 1}^{\infty} x \cdot \frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{x - 1}

Gruß

pivot

Trilobit05 aktiv_icon

11:10 Uhr, 05.07.2018

Danke,
wie ich den Erwartungswert berechne, dass ist nicht das Problem bei einem Würfel.
Sondern eher wenn es um das n-malige Würfeln geht.

Erwartungswert für die Augensumme ist

3.5 n

?

Und welche Verteilung?

LG

Trilobit05 aktiv_icon

11:12 Uhr, 05.07.2018

Danke, habe jetzt erst beide Antworten gelesen.
Schaue es mir mal an und versuche

b)

zu machen.

pivot aktiv_icon

11:18 Uhr, 05.07.2018

@Trilobit05

Versuche am besten erstmal a) zu machen.

anonymous

12:49 Uhr, 05.07.2018

Hallo
Die Aufgabe ist nicht so ganz perfekt formuliert.
Ich ahne, das hätte inhaltlich heissen wollen:

a)

Wir zählen die Anzahl an Würfen, bis wir zum ersten mal eine 'sechs' würfeln.
Geben sie den Erwartungswert und die Verteilung dieser Wurfanzahl an.

Überleg dir:

a . 1)

Du könntest gleich im allerersten Wurf eine 'sechs' würfeln.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

a . 2)

Du könntest im zweiten Wurf zum erstenmal eine 'sechs' würfeln.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

a . 3)

Du könntest im dritten Wurf zum erstenmal eine 'sechs' würfeln.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür?

... u . s . w . .

anonymous

12:54 Uhr, 05.07.2018

PS:
Du hattest ja schon so ungefähr formuliert:

p (A) = \frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{n - 1}

Zumindest ahne ich, dass das eigentlich gemeint war.
Nur, mach dir besser klar, was eigentlich "A" sein sollte.
Ist nicht besser

p_{n} = \frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{n - 1}

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12:55 Uhr, 05.07.2018

@engleich11

Der OP ist jetzt schon längst weiter. Verstehe jetzt deinen Beitrag nicht.

anonymous

12:56 Uhr, 05.07.2018

Willst du mir noch verraten, was denn "OP" sein soll?

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13:05 Uhr, 05.07.2018

@engleich11

OP=Original Poster

Die Person, die den ursprünglichen Beitrag verfasst hat.

Trilobit05 aktiv_icon

15:31 Uhr, 05.07.2018

Also ich habe jetzt Als Erwartungswert 6 raus.

Ich hoffe, das stimmt soweit.

bei

b)

zum ersten mal eine fünf oder eine sechs.
Die Wahrscheinlichkeiten bleiben ja gleich oder nicht.

wäre es nicht zweimal dieselbe Verteilung?

LG

Roman-22

16:07 Uhr, 05.07.2018

Naja, Erwartungswert 6 für

a)

ist nur dann richtig, wenn

n \to \infty

geht. Das hat pivot um

11 : 06

unterstellt, steht für mich aber nirgendwo in der Angabe. So wie die Angabe formuliert ist, würfelt man eine endliche Anzahl

n

mal und dann ist Schluss. Die Zufallsvariable (Nummer des ersten 6er-Wurfs) kann also keine Werte über

n

annehmen. Daher fällt der Erwartungswert auch kleiner als 6 aus - je kleiner

n,

desto kleiner der Erwartungswert.
Da wäre dann also der Erwartungswert natürlich von

n

abhängig:

\sum_{k = 1}^{n} [p_{k} \cdot k] = 6 - (6 + n) \cdot {(\frac{5}{6})}^{n} m i t p_{k} = {(\frac{5}{6})}^{k - 1} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{5} \cdot {(\frac{5}{6})}^{k}

Hast du die Angabe wortgeteu hier wiedergegeben???

>

bei

b)

zum ersten mal eine fünf oder eine sechs.

>

Die Wahrscheinlichkeiten bleiben ja gleich oder nicht.
Wirklich?
Die WKT eine 5 ODER 6 zu würfeln ist für mich

\frac{1}{3}

.
Die WKT, beim n-ten Wurf erstmals eine 5 oder 6 zu würfeln ist daher

p_{n} = {(\frac{2}{3})}^{n - 1} \cdot \frac{1}{3}

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20:40 Uhr, 05.07.2018

@Trilobit05

Also ich habe jetzt Als Erwartungswert 6 raus

.

Meiner Meinung ist das richtig. In der Angabe steht ja, dass man n mal wirft. Und dieses n ist die Anzahl der Würfe bis man eine 6 wirft. Im Prinip ist ja

P (X = n) = p (1 - p)^{n - 1} = p q^{n - 1} \forall n = 1, 2, \dots

Und der Erwartungswert ist demensprechend

E (X) = \sum_{x = 1}^{\infty} x \cdot p (1 - p)^{x - 1} = \sum_{x = 1}^{\infty} x \cdot \frac{1}{6} \cdot {(\frac{5}{6})}^{x - 1} = 6

Siehe auch hier: de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Verteilung

Trilobit05 aktiv_icon

23:09 Uhr, 05.07.2018

Guten Abend,
die Aufgabe ist richtig angegeben von mir.
Ich weiß jetzt nicht, welchen Ansatz ich von euch beiden nehmen sollte. Diese Aufgabe war eine alte Klausuraufgabe von

2012

.

Ich werde mich mal umhören, was die anderen Studenten bei der Aufgabe geschrieben haben, sofern die es gelöst haben.

Ich danke euch vielmals für eure Bemühungen.

Diese Aufgabe hatte nur einen Aufgabenteil

a)

und

b)

Nehmen wir mal an, es würde ein

c)

geben mit das erste mal eine fünf sowohl auch eine sechs. Das quasi beides zum ersten Mal auftritt. Wäre das möglich?
Wie dürfen nur einen Taschenrechner benutzen.

Ich bedanke mich im Voraus.

Roman-22

23:11 Uhr, 05.07.2018

>

In der Angabe steht ja, dass man

n

mal wirft.
Ja, quasi als Überschrift, bevor noch in

a)

(sprachlich etwas eigen) beschrieben wird, dass die Anzahl der Würfe bis zum ersten 6er interessiert.
Für mich bedeutet das eben, dass

n

ein vorgegebener, fester Wert ist.
Da ich es aber auch für sehr wahrscheinlich halte, dass einfach nach einer geometrischen Verteilung gefragt ist, hatte ich ja nachgefragt, ob das wirklich die Originalaufgabenstellung ist. Ich vermute - nein.

>

die Aufgabe ist richtig angegeben von mir.
Hab deine AW eben erst gesehen.
Wenn das in der Tat der Originaltext ist, dann ist er äußerst nachlässig und schlampig formuliert. Damit meine ich nicht, dass "würfeln" mit kleinem Anfangsbuchstaben geschrieben werden sollte, sondern dass eine Formulierung wie "Geben Sie die Verteilung und den Erwartungswert für das Ereignis zum ersten mal eine sechs Würfeln an." einfach unmöglich ist. Dieses beschriebene Ereignis ist doch keine Zufallsvariable, die eine Verteilung haben kann! Wie haben nur alle wohlwollend darüber hinweg gesehen und angekommen, dass die Verteilung der Zufallsvariablen

X,

welche die Anzahl der Würfe bis zur ersten Sechs angibt, gemeint ist.
Dass wir jetzt auch noch annehmen müssen, dass dieses

X

das in der gemeinsamen Vorbemerkung erwähnte

n

sein soll, dass dieses also nicht eine feste vorgegeben Größe ist, ist schon ein starkes Stück, das sich der Aufgabenersteller da sprachlich leistet. Da gehörte ihm die Angabe mehrfach kräftig um die Ohren geschlagen.
Dass pivot die Aufgabe so interpretiert hat, wie er das eben hat, ist wohl nur der Tatsache geschuldet, dass er schon mit viele ähnlichen Aufgaben zu tun hatte und im Schul- bzw. Uni-Bereich bei solchen Aufgaben nahezu immer nach der geoemtrischen Verteilung gefragt ist.
Wie oben schon gesagt, denke ich ja auch, dass als Erwartungswert ganz einfach 6 erwartet (sic!) wird.
Es kommt halt darauf an, ob man die Aufgabe so lösen möchte, wie sie formuliert ist oder so, wie sie vermutlich gemeint war. ;-)
OK, im ersteren Fall dürfte man sie dann gar nicht lösen, weil das bloße Ereignis "zum ersten mal eine sechs Würfeln" keiner Verteilung unterliegt.

Trilobit05 aktiv_icon

23:20 Uhr, 05.07.2018

Ich kann nur das sagen, was ich vor mir liegen habe.
Diese Aufgabenstellung wurde damals in einer Handschrift verfasst.
Vielleicht hat der damalige Student bzw Studentin es nicht wortwörtlich abgeschrieben, das kann ich jetzt aber halt nicht mehr nachprüfen.

Roman-22

23:25 Uhr, 05.07.2018

Hatte deine AW zu spät gesehen und oben noch ergänzt.
Dass es sich um eine handschriftliche Notiz eines Studenten handelt, vielleicht ein nach der Klausur angefertigtes Gedächtnisprotokoll, kann durchaus eine Erklärung für das Dilemma sein.
In diesem Fall würde ich annehmen wollen, dass so lange gewürfelt wird, bis eine Sechs kommt und die Verteilung der jeweiligen Anzahl der Würfe untersucht werden soll.
Dann passt das auch so, wie du das gerechnet hast und der Erwartungswert ist genau 6.

>

Nehmen wir mal an, es würde ein

c)

geben mit das erste mal eine fünf sowohl auch eine sechs. Das quasi beides zum ersten Mal auftritt. Wäre das möglich?
??? Das musst du mir mal vormachen, wie du mit einem Würfel gleichzeitig eine Fünf UND eine Sechs würfelst.
Spannender wäre da schon die Bedingung, dass erst beendet wird, wenn eine Fünf direkt gefolgt von einer Sechs kommt. (oder hast du das ohnedies so gemeint?)
Aber ich vermute stark, dass das nicht prüfungsrelevant ist.

Trilobit05 aktiv_icon

05:08 Uhr, 06.07.2018

Guten morgen
jetzt macht einiges glaube ich mehr Sinn..

Nämlich bei

a)

Erwartungswert=6 und als Verteilung: geometrische Verteilung.

Glaube es wurde dann wirklich so gemeint.

Nur bei

b)

hätte ich noch eine Frage. Die Wahrscheinlichkeit von

\frac{1}{3}

habe ich verstanden. Wie kommst du auf

{(\frac{2}{3})}^{n - 1}

.

Ich gehe mal von aus, dass man wieder eine bekannte Verteilung finden müsste.

Roman-22

12:00 Uhr, 06.07.2018

Das bei

b)

sind doch die exakt gleichen Überlegungen, nur eben mit der WKT

\frac{1}{3}

.
Die

\frac{2}{3}

sind die WKT vom Gegenereignis "es kommt weder 5 noch 6".
Damit beim n-ten Wurf 5 oder 6 erstmals kommt müssen vorher, also

n - 1

Mal, Zahlen

1 . . 4

gekommen sein. Die WKT dafür ist

{(\frac{2}{3})}^{n - 1}

. Der n-te Wurf muss 5 oder 6 sein und dafür ist die WKT

\frac{1}{3}

. Also ist die WKT, beim n-ten Wurf erstmals 5 oder 6 zu werfen

p_{n} = {(\frac{2}{3})}^{n - 1} \cdot \frac{1}{3}

.
Es ist, als ob du Aufgabe

a)

mit einem dreiseitigen Würfel machst. Eine Seite zeigt

5 - 6,

die anderen beiden zB

1 - 2

und

3 - 4

und das Spiel ist zu Ende, wenn die Seite

5 - 6

kommt.

Trilobit05 aktiv_icon

20:25 Uhr, 06.07.2018

Danke :-)

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