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n-te Ableitung von sin(2x)

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Höherdimensionale Ableitung

E-Techniker aktiv_icon

23:53 Uhr, 04.10.2009

Nabend zusammen!

Ich bin gerade dabei, die n-te-Ableitung von

sin (2 x)

zu erarbeiten. Leider habe ich grundsätzlich noch ein paar Schwierigkeiten, wenn es darum geht, meine Ideen mathematisch korrekt zu Papier zu bringen

= (

Die Ableitungen sehen wie folgt aus:

f 1 = 2 \cdot cos (2 x)

f 2 = - 4 \cdot sin (2 x)

f 3 = - 8 \cdot cos (2 x)

f 4 = 16 \cdot sin (2 x)

f 5 = 32 \cdot cos (2 x)

f 6 = - 64 \cdot sin (2 x)

Ich habe keine Ahnung, wie ich in EINER n-ten-Ableitung darstellen soll, dass es immer zwischen

sin & cos

schwankt. Ich tendierte schon dazu, zwei n-te-Ableitungen zu erstellen: Eine für gerade Ableitungen und eine für ungerade - allerdings weiss ich nicht, ob ich da auf dem richtigen Dampfer bin!

Ist mein erster Eintrag hier - würde mich sehr über eure Hilfe freuen!

mfG,
Sven

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

m-at-he

00:14 Uhr, 05.10.2009

Hallo,

wie wäre es damit:

f^{(n)} = 2^{n} \cdot (\frac{1 + {(- 1)}^{n + 1}}{2} \cdot {(- 1)}^{\frac{n - 1}{2}} \cdot cos (2 \cdot x) + \frac{1 + {(- 1)}^{n}}{2} \cdot {(- 1)}^{\frac{n}{2}} \cdot sin (2 \cdot x))

Kosekans aktiv_icon

00:22 Uhr, 05.10.2009

Hallo.

Ich hätte anzubieten:

f^{n} (x) = 2^{n} \cdot sin (2 x + n \cdot \frac{π}{2})

Gruss, Kosekans

E-Techniker aktiv_icon

00:35 Uhr, 05.10.2009

Super Sache! Also die etwas umfangreichere Formel funktioniert sehr gut! Die kürzere mit dem

\frac{π}{2}

verstehe ich leider nicht ganz?

Gibt es irgendeinen Trick um auf diese n-ten-Ableitungen zu kommen, oder ist es immer simples Ableitungen aufstellen und System erkennen?

m-at-he

00:40 Uhr, 05.10.2009

Hallo,

mit dem Ableitungsverfahren hast Du eine rekursive Bildungsvorschrift, ähnlich wie bei Zahlenfolgen. Daraus eine explizite zu machen ist genauso einfach oder schwer wie bei den Zahlenfolgen. Kosekans hat hier eine Eigenschaft von Sinus und Kosinus ausgenutzt, um eine effiziente Formel zu erstellen, ich habe bewußt eine genommen, die ein Prinzip für alle "ähnlichen" Fälle aufzeigt:

Zunächst erstellt man für gerade und ungerade

n

getrennt eine explizite Bildungsvorschrift, die bei den geraden bzw. ungeraden Ableitungen den korrekten Wert annehmen. Bei den jeweils anderen

n

ist der Wert unerheblich, denn durch den Faktor mit den

\frac{1 + {(- 1)}^{...}}{2}

hat man einen effektiven Schalter, der für die passenden

n

den Summanden einschaltet und für unpassende

n

wieder ausschaltet. Das allerdings ist ein System!

E-Techniker aktiv_icon

00:59 Uhr, 05.10.2009

Alles klar! Vielen Dank für eure schnelle und kompetente Hilfe!!

Da kann man doch gleich beruhigter schlafen

=)

Gute Nacht ;-)

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