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n über k

Schüler

Tags: Binomialkoeffizient, Fakultät, manuell ausrechnen

Motobiene aktiv_icon

18:27 Uhr, 25.09.2023

Hallo, ich bin neu hier...

Ich muss

(\begin{matrix} 8 \\ 3 \end{matrix})

lösen.

1)

Wie nennt man diesen Ausdruck richtig oder wie sagt man dazu?

2)

Wie kann man den manuell berechnen?

Grüße
Motobiene

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

KL700 aktiv_icon

18:48 Uhr, 25.09.2023

1)

Binomialkoeffizient

2) \frac{8!}{3! 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}

Jetzt noch kürzen.

calc007

19:00 Uhr, 25.09.2023

Für

\Rightarrow

Binomial-Koeffizienten

\leq

gibt's natürlich wiederum je nach Vorliebe, Zusammenhang und Geschick viele Möglichkeiten.

Schau mal in deine Formelsammlung.

b . B

a)

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!}

...wobei du dir ggf. erheblich leichter tun kannst, wenn du dir klar machst, dass oft dieses

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!} \cdot \frac{1}{k!}

sich erheblich kürzen lässt.
Das siehst du daran, wie viele Faktoren in KL700's Beitrag kürzen lassen.

b)

Pascalsches Dreieck
Wer das Pascalsche Dreieck kennen gelernt hat, kann sich ggf. damit sehr rasch einen Überblick verschaffen.
Das ist ggf. vielleicht sogar noch schneller.

Motobiene aktiv_icon

19:52 Uhr, 25.09.2023

Danke - das wollte ich wissen! :-)

HAL9000

09:37 Uhr, 26.09.2023

Alternativ gibt es auch die Darstellung

(\begin{array}{c} n \\ k \end{array}) = \frac{n \cdot (n - 1) \cdot \dots \cdot (n - k + 1)}{n!} (*)

,

d.h., man multipliziert im Zähler von

n

beginnend und jeder weitere Faktor um 1 vermindert, bis man insgesamt

k

Faktoren berücksichtigt hat. Im Sonderfall

k = 0

legt man

(\begin{array}{c} n \\ 0 \end{array}) = 1

fest ("leere" Produkte in Zähler wie Nenner). Formel (*) kann auch für nichtganzzahlige

n

verwendet werden, was man z.B. für die Binomische Reihe

{(1 + x)}^{α} = \sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} α \\ k \end{array}) \cdot x^{k}

gebrauchen kann, etwas im Fall

α = \frac{1}{2}

.

Hier in deinem Fall ist aber einfach

(\begin{array}{c} 8 \\ 3 \end{array}) = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 56

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