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n^4+4^n ist keine Primzahl nachweisen

Universität / Fachhochschule

Elementare Zahlentheorie

Tags: Elementare Zahlentheorie

Schurli aktiv_icon

19:43 Uhr, 29.02.2016

Man zeige:

n^{4} + 4^{n} \notin ℙ

\forall

n \in N_{\geq 2}

Meine Ideen: Ich habe versucht das als ein überdimensioniertes Polynom aufzufassen und es zu faktorisieren! Dann hab ich mir eine Wertetabelle gemacht und exemplarisch festegstellt, dass es in den Teilern gar keine Regelmäßigkeiten gibt, also wird man wohl auch keinen Faktor herausheben können! Allerdings ist die Zahl wirklich immer zerlegbar. Nur der Nachweis dessen scheint hier wirklich schwierig.

Ich habe es dann auch noch mit Induktion versucht, nach dem Motto: "Wenn es für

n

funktioniert, dann muss es auch für

n + 1

keine Primzahl sein!" Leider konnte ich auch da nichts herausheben.

Dann kam noch die Idee, dass ich für n verschiedene Fälle betrachte, a la kongruent modulo m. Auch dies führt zu für meine Intuition nicht mehr fassbaren Ausdrücken...

Würde mich daher sehr auf einen Hinweis freuen, falls es Jemand von euch knacken kann! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

20:10 Uhr, 29.02.2016

Der Fall

n

- gerade ist trivial. Um ungeraden Fall geht
das mit einer geschickten Umformung:

n^{4} + 4^{n} = (n^{2})^{2} + (2^{n})^{2} = (n^{2} + 2^{n})^{2} - 2^{n + 1} n^{2}

und weiter nutze, dass

n = 2 k + 1

(3. binomische Formel).

abakus

20:46 Uhr, 29.02.2016

...xemplarisch festegstellt, dass es in den Teilern gar keine Regelmäßigkeiten gibt,...

Nein???
Für gerade n ist der Term ganz regelmäßig gerade.
Für ungerade n ist die Endziffer (fast immer) 5.

Wenn die Endziffer für ungerade n mal NICHT 5 ist (das passiert übrigens regelmäßig bei ganz besonderen ungeraden n) ...

Schurli aktiv_icon

20:53 Uhr, 29.02.2016

@Gast: Ich meinte natürlich in der Folge

n = 3, 5, 7, 9, . . .

Schurli aktiv_icon

21:04 Uhr, 29.02.2016

Also, ich hab mit deinem Hinweis entdeckt, dass das ganze in einen Ausdruck der Form

a^{2} - b^{2}

übergeht, wodurch ich dann vermöge

(a + b) (a - b)

die gewünschte/gesuchte zusammengesetzte Zahl erhalte!

Super, vielen Dank euch! :-)

Schurli aktiv_icon

21:04 Uhr, 29.02.2016

Also, ich hab mit deinem Hinweis entdeckt, dass das ganze in einen Ausdruck der Form

a^{2} - b^{2}

übergeht, wodurch ich dann vermöge

(a + b) (a - b)

die gewünschte/gesuchte zusammengesetzte Zahl erhalte!

Super, vielen Dank euch! :-)

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21:04 Uhr, 29.02.2016

Also, ich hab mit deinem Hinweis entdeckt, dass das ganze in einen Ausdruck der Form

a^{2} - b^{2}

übergeht, wodurch ich dann vermöge

(a + b) (a - b)

die gewünschte/gesuchte zusammengesetzte Zahl erhalte!

Super, vielen Dank euch! :-)

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21:04 Uhr, 29.02.2016

Also, ich hab mit deinem Hinweis entdeckt, dass das ganze in einen Ausdruck der Form

a^{2} - b^{2}

übergeht, wodurch ich dann vermöge

(a + b) (a - b)

die gewünschte/gesuchte zusammengesetzte Zahl erhalte!

Super, vielen Dank euch! :-)

Schurli aktiv_icon

21:04 Uhr, 29.02.2016

Also, ich hab mit deinem Hinweis entdeckt, dass das ganze in einen Ausdruck der Form

a^{2} - b^{2}

übergeht, wodurch ich dann vermöge

(a + b) (a - b)

die gewünschte/gesuchte zusammengesetzte Zahl erhalte!

Super, vielen Dank euch! :-)

Bummerang

00:02 Uhr, 01.03.2016

Hallo,

beachte, dass Du mit der vom Doktor vorgeschlagenen Zerlegung in zwei Faktoren noch nicht bewiesen hast, dass die Zahl keine Primzahl ist! Schließlich kann man auch jede Primzahl in zwei Faktoren zerlegen! So ist

z . B

5 = 1 \cdot 5

. Wenn Du den Hinweis vom Doktor liest, erkennst Du, dass an keiner Stelle die Voraussetzung

n \geq 2

eine Rolle spielt. Offensichtlich muss man diese Voraussetzung benutzen, um zu beweisen, dass keiner der Faktoren 1 (eigentlich auch nicht

- 1)

sein kann! Denn nur dann ist die Faktorzerlegung als Beweis für die Eigenschaft, keine Primzahl zu sein, auch zulässig!

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