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natürliche Logarithmen mit Basis e vereinfachen

Schüler Gymnasium, 11. Klassenstufe

Tags: Logarithmieren, Natürlicher Logarithmus, ohne Rechner, Vereinfachen

hipsgold aktiv_icon

20:07 Uhr, 22.02.2012

Einen wunderschönen guten Abend an all die Genies da draußen!

Ich sitze gerade über meinen Mathehausaufgaben und beiße mir seit mindestens einer Stunde die Zähne an einer Aufgabe aus.

Nun bin ich neu hier und habe noch nicht die nötige Übersicht und Erfahrung aber ich präsentiere mal die Aufgabe:

Eine Exponentialfunktion lautet:

ln (x^{2} + x) - ln (\frac{1}{x}) + ln (\frac{1}{x^{2}})

und ich soll diesen Quatsch jetzt ohne den Taschenrechner vereinfachen.

Zugegeben bin ich kein wirkliches Ass in Mathe und wir haben auch heute erst mit dem Thema begonnen und leider habe ich aufgrund eines Umzug ein paar Lücken, was Logarithmen angeht.

Ansätze zu dieser Aufgabe habe ich nicht wirklich, ich weiß wohl das der Logarithmus von a die Lösung zur Gleichung

e^{x} = a

ist aber leider verwirrt mich das alles noch ein wenig.

Ich bitte hier erstmal um keine Komplettlösung, sondern eher eine Hilfestellung, wie ich am besten an die Aufgabe rangehe.

Ich bedanke mich!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
ln-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Logarithmusgesetze - Einführung
e-Funktion

dapso aktiv_icon

20:14 Uhr, 22.02.2012

Hallo

\ln (x^{2} + x) = \ln (x (x + 1))

-> Rechenregel Logarithmus anwenden
Und dann gilt noch

\ln (\frac{1}{a^{b}}) = - b \ln (a)

xx1943 aktiv_icon

20:17 Uhr, 22.02.2012

erstens ist das keine Exponentialfunktion.
zweitens hilft derTaschenrechner gar nix; höchstens ein Algebrasystem was Formeln umformen kann.
drittens habt Ihr doch sicher die Gesetze für das Rechnen mit

ln

gelernt:

ln (a \cdot b) = ln (a) + ln (b)

ln (\frac{a}{b}) = ln (a) - ln (b)

ln (1) = 0

probier die mal anzuwenden

Hier steht ein bisschen mehr: www.bommi2000.de/mathematik/logarithmen/logarith.pdf

hipsgold aktiv_icon

20:34 Uhr, 22.02.2012

an die drei sachen habe ich auch schon gedacht aber letztendlich verwirrt mich das noch mehr, denn ich kann den kram schlecht in zwei teile teilen oder?!
also um meinen gedanken mal zu konkretisieren :

ln (x^{2} + x) - ln (\frac{1}{x}) + ln (\frac{1}{x^{2}})

= ln (\frac{x^{2} + x}{\frac{1}{x}}) - ln (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x^{2}})

so kann das doch nicht funktionieren, oder?

tut mir leid, wenn eure mathematiker-herzen bluten

dapso aktiv_icon

20:38 Uhr, 22.02.2012

Die Hinweise gingen in die andere Richtung.

\ln (x^{2} + x) = \ln (x \cdot (x + 1))

-> kann man auseinander ziehen.
Und auf die restlichen beiden Summanden kannst du einzeln meinen zweiten Hinweis anwenden, dass

\ln (\frac{1}{a^{b}}) = - b \ln (a)

gilt.
Wenn du die Hinweise anwendest, bekommst du vier Summanden. Diese kann man dann schön zusammenfassen.

hipsgold aktiv_icon

20:44 Uhr, 22.02.2012

ich stehe jetzt endgültig auf dem schlauch,oh junge.

was ist denn jetzt mein a und was mein b?
ich vermute mein

a = x^{2} + x

mein

b = (x \cdot (x + 1))

aber das ist genauso bescheuert.

dapso aktiv_icon

20:49 Uhr, 22.02.2012

Beim ersten Summanden möchte ich auf die Regel

\ln (a \cdot b) = \ln (a) + \ln (b)

hinaus. Jetzt lässt sich ja

\ln (x^{2} + 1)

als

\ln (x \cdot (x + 1))

schreiben. Entscheide was

a

und was

b

ist wende die Regel an. Dann lass das Ergebnis mal so stehen und wende dich den beiden anderen Summanden zu.

hipsgold aktiv_icon

21:04 Uhr, 22.02.2012

ich glaube, langsam dämmert es.
erst einmal vielen dank, dass du so viel geduld hast,hahaha!

und jetzt pass auf :

die anderen beiden summanden lauten ja

: ln (\frac{1}{x}) & ln (\frac{1}{x^{2}})

jetzt hab ich darauf die regeln angewendet und das sieht bis jetzt so aus:

ln (\frac{1}{x}) = ln (1) - ln (x)

ln (\frac{1}{x^{2}}) = ln (1) - ln x \cdot (x)

so weit richtig?

und wenn ja, darf ich dann diese teile mit den anderen verknüpfen um dann evtl. zu kürzen?

also:

ln x \cdot (x + 1) - (ln (1) - ln (x)) + (ln (1) - ln (x \cdot (x)))

dann lösen sich ja

ln (1)

jeweils auf und es bleibt noch

ln (x \cdot (x + 1)) - ln (x) - ln (x \cdot (x))

und daaaaann?

dapso aktiv_icon

21:10 Uhr, 22.02.2012

Das ist doch mal ein Anfang. Allerdings sollte die letzte Zeile

\ln (x \cdot (x + 1)) + \ln (x) - \ln (x^{2})

heißen.
Jetzt beachte, dass

\ln (a^{b}) = b \ln (a)

gilt (für den letzten Summanden).
Dann darfst du dich nocheinmal am ersten Summanden versuchen. Hinweise hab ich dir oben ja schon hingeschrieben.

hipsgold aktiv_icon

21:23 Uhr, 22.02.2012

nun gut, nächster anlauf:

erster summand

: ln (x \cdot (x + 1))

auf die regel angewendet dann

: ln (x \cdot (x \cdot 1),

dann wären wir bei

ln (x^{2})

darauf kann man dann ja letztere regel vom letzten summanden ebenfalls benutzen und das ist dann auch

2 ln (x)

fass ich das jetzt alles zusammen sieht das so aus:

2 ln (x) + ln (x) - 2 ln (x)

dann kürzen der erste und letzte summand sich wieder

und als letztes bleibt

ln (x)

so?(:

dapso aktiv_icon

21:27 Uhr, 22.02.2012

Leider immernoch nicht.

\ln (x \cdot (x + 1))

Wähle

a = x

und

b = x + 1

. Dann gilt mit dem Gesetz

\ln (a \cdot b) = \ln (a) + \ln (b)

\ln (x \cdot (x + 1)) = \ln (x) + \ln (x + 1)

Jetzt noch die restlichen Summanden von oben verrechnen.

hipsgold aktiv_icon

21:33 Uhr, 22.02.2012

oh, hoppla.

also dann:

ln (x) + ln (x + 1) + ln (x) - 2 ln (x)

= 2 ln (x) + ln (x + 1) - 2 ln (x)

= ln (x + 1)

dapso aktiv_icon

21:33 Uhr, 22.02.2012

Ja, jetzt passt es :-)

hipsgold aktiv_icon

21:38 Uhr, 22.02.2012

hallelujah, vielen lieben dank!

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