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neue Integrationsgrenzen bei Transformationssatz

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Transformationssatz

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Mayflower

Mayflower aktiv_icon

10:12 Uhr, 13.10.2016

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Hallo ihr Lieben,

ich beschäftige mich gerade mit dem Transformationssatz und habe mir zu diesem Zweck mehrere Beispiele angeschaut.
Und dabei verstehe ich nicht, wie ich auf die neuen Integrationsgrenzen komme, wenn ich den Transformationssatz anwende.

Als erstes Beispiel geht es um die Berechnung dieses Integrals:

\int_{M} (\sqrt{x^{2} + y^{2}}) d (x, y)

mit

M := ((x, y) \in ℝ^{2}; 1 \leq x^{2} + y^{2} \leq 4)

Hier liegt natürlich die Transformation in Polarkoordinaten nahe. Dadurch ergeben sich die neuen Grenzen durch:

1 \leq {(r cos (φ))}^{2} + {(r sin (φ))}^{2} \leq 4

\Leftrightarrow 1 \leq r^{2} ({cos}^{2} (φ) + {sin}^{2} (φ)) \leq 4

Da

{cos}^{2} (φ) + {sin}^{2} (φ) = 1

folgt

1 \leq r \leq 2

.
Für

φ

wurde in dem Beispiel über den ganzen Raum integriert, also von 0 bis

2 Π

.

Und jetzt kommt das zweite Beispiel:

\int_{M} (x^{2} y) d (x, y, z)

mit

M := ((x, y, z) \in ℝ^{3}; x \geq 0, y \geq 0, x^{2} + y^{2} \leq 1, 0 \leq z \leq 1)

Ich würde jetzt denken, dass wieder über den ganzen Raum integriert wird. Allerdings sind die neuen Grenzen für den Winkel

φ

von 0 bis

\frac{Π}{2}

.

Wie komme ich darauf?

Liebe Grüße

Online-Nachhilfe in Mathematik

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ermanus

ermanus aktiv_icon

12:19 Uhr, 13.10.2016

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Hallo Mayflower,
im ersten Beispiel ist Deine Menge ein Kreisring, um ihn
zu durchlaufen, muss Dein Winkel von

0

bis

2 π

gehen.
Im 2-ten Beispiel hast Du als Menge einen Viertel-Kreiszylinder,
d.h. der Winkel muss nur einen Viertelkreis durchlaufen, also nur bis

\frac{π}{2}

.
Gruß ermanus

Mayflower

Mayflower aktiv_icon

13:29 Uhr, 14.10.2016

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Hallo ermanus,

woher weiß ich denn ob es sich um einen Voll- oder Teilkreis handelt?

Mayflower

Mayflower aktiv_icon

13:29 Uhr, 14.10.2016

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Hallo ermanus,

woher weiß ich denn ob es sich um einen Voll- oder Teilkreis handelt?

Antwort

ermanus

ermanus aktiv_icon

13:31 Uhr, 14.10.2016

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Halo Mayflower,
bei der zweiten Menge steht doch

x \geq 0, y \geq 0

.
Gruß ermanus

Mayflower

Mayflower aktiv_icon

13:34 Uhr, 14.10.2016

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Ach okay,
und wenn beispielsweise nur

x \geq 0

da gestanden hätte wäre es ein Halbkreis?

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ermanus

ermanus aktiv_icon

13:36 Uhr, 14.10.2016

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Genau! Denn dann hättest Du ja von dem Kreis nur den Teil, der im 1. und 4. Quadranten
liegt.

Frage beantwortet

Mayflower

Mayflower aktiv_icon

13:38 Uhr, 14.10.2016

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Super danke!
Ich hab es jetzt verstanden :-)

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