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nicht abelsche Galoisgruppe

Universität / Fachhochschule

Tags: abelsch, Galoisgruppe, Rationale Zahlen, Zerfällungskörper

freed aktiv_icon

19:53 Uhr, 26.12.2010

hallo!

f

ist gegeben:

f \in ℚ [X],

mit

f (X) = X^{4} - 2

E / ℚ

ist der Zerfällungskörper von

f

über

ℚ

.
zz.

G (E / ℚ)

ist nicht abelsch.

beweis:
die NST von

f

sind:

2^{\frac{1}{4}}, - 2^{\frac{1}{4}}, i \cdot 2^{\frac{1}{4}}, - i \cdot 2^{\frac{1}{4}}

\Rightarrow E = ℚ (2^{\frac{1}{4}}, i)

\Rightarrow [E : ℚ] = [E : ℚ (2^{\frac{1}{4}})] \cdot [ℚ (2^{\frac{1}{4}}) : ℚ] = 2 \cdot 4 = 8

\Rightarrow

es gibt 8 Automorphismen in der Gruppe

G (E / ℚ)

.
und zwar folgende:

2^{\frac{1}{4}} \mapsto 2^{\frac{1}{4}}

2^{\frac{1}{4}} \mapsto - 2^{\frac{1}{4}}

2^{\frac{1}{4}} \mapsto i \cdot 2^{\frac{1}{4}}

2^{\frac{1}{4}} \mapsto - i \cdot 2^{\frac{1}{4}}

i \mapsto i

i \mapsto - i

wie sehe ich jetzt, dass die gruppe nicht abelsch ist?
ich sehe nicht wie ich die abbildungen aufschreiben soll

a \cdot b = b \cdot a . .

.

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

11:06 Uhr, 27.12.2010

Betrachte den Automorhismus

α : E \to E,

der

\sqrt[4]{2} \mapsto i \cdot \sqrt[4]{2}

und

i \to i

abbildet sowie

β : E \to E,

der

i \mapsto - i, \sqrt[4]{2} \mapsto \sqrt[4]{2}

abbildet (das ist einfach die komplexe Konjugation).

Auf den vier Nullstellen operiert

α

als Rotation um 90° und

β

als Achsenspiegelung an der reellen Achse.

G

ist (vermöge der Operatin auf den Nullstellen) also einfach die komplette Symmetriegruppe des Quadrats (Diedergruppe) und somit nicht abelsch - weil Rotation und Spiegelung nicht vertauschen.

"Noch einfacher" ohne explizites Berechnen der Wirkung auf die Nullstellen:

G

ist auf jeden Fall eine Untergruppe der

S_{4}

. Da du bereits

| G | = 8

herausgefunden hast, und die

S_{4}

keine abelsche Untergruppe der Ordnung 8 hat (alle Untergruppen der Ordnung 8 sind zueinander und somit zur nicht-kommutativen Diedergruppe isomorph), ist

G

nicht abelsch

freed aktiv_icon

19:05 Uhr, 28.12.2010

hey!
kann man konkret angeben, dass beispielsweise:

a \cdot b \neq b \cdot a

für

a, b \in G (E / K)

?
Wieso sind die Untergruppen von

S_{4}

mit der Mächtigkeit 8 nicht abelsch und isomorph zu Diedergruppe?

michaL aktiv_icon

20:06 Uhr, 28.12.2010

Hallo,

du willst zwei konkrete Körperhomomorphismen

a

und

b

, für die

a \cdot b \neq b \cdot a

gilt.

Lies dir hagmans Beitrag noch einmal durch. Er schreibt:
> Betrachte den Automorhismus α:E→E, der 24↦i⋅24 und i→i abbildet sowie β:E→E, der i↦−i,24↦24
> abbildet (das ist einfach die komplexe Konjugation).
>
> Auf den vier Nullstellen operiert α als Rotation um 90° und β als Achsenspiegelung an der
> reellen Achse.
> G ist (vermöge der Operatin auf den Nullstellen) also einfach die komplette Symmetriegruppe des
> Quadrats (Diedergruppe) und somit nicht abelsch - weil Rotation und Spiegelung nicht vertauschen.

Mfg Michael

freed aktiv_icon

00:10 Uhr, 29.12.2010

ja, ok.
ich glaube das habe ich verstanden.
aber sieht das dann so aus:

α \circ β : E \to E i \mapsto - i

und dann wird

- i \mapsto - i

abgebildet.

\sqrt[4]{2} \mapsto \sqrt[4]{2}

und dann wird

\sqrt[4]{2} \mapsto i \cdot \sqrt[4]{2}

also insgesamt wird

i \mapsto i

und

\sqrt[4]{2} \mapsto i \cdot \sqrt[4]{2}

β \circ α : E \to E i \mapsto i

und danach

i \mapsto - i

\sqrt[4]{2} \mapsto i \cdot \sqrt[4]{2}

und dann

i \cdot \sqrt[4]{2} \mapsto i \cdot \sqrt[4]{2}

?
also insgemsamt wird

i \mapsto - i

und

\sqrt[4]{2} \mapsto i \cdot \sqrt[4]{2}

oder auf

- i \cdot \sqrt[4]{2}

abgebildet?

michaL aktiv_icon

00:21 Uhr, 29.12.2010

Hallo,

ja, es reicht,

β \circ α (2^{\frac{1}{4}})

und

α \circ β (2^{\frac{1}{4}})

zu berechnen.

Mfg Michael

freed aktiv_icon

23:04 Uhr, 30.12.2010

ok, vielen dank!

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