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nicht schwach konvergente Folge

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

Katja001 aktiv_icon

12:15 Uhr, 28.11.2022

Hallo ans Forum,

ich habe folgende Aufgabe bekommen:

Für jedes

k \in ℕ

sei

x^{k} \in l^{\infty}

mit

x_{n}^{k} := 1

für

n \leq k

und

x_{n}^{k} := 0

sonst.

Zeigen sie

(x_{n}^{k})_{k \in ℕ}

konvergiert nicht schwach in

l^{\infty}

.

Dabei ist

l^{\infty}

der Raum der beschränkten Folgen.

Nochmal die Definition von schwach Konvergent:

Eine Folge

(x_{n})

in einem normierten Raum heißt schwach Konvergent gegen

x

, wenn

lim_{n \to \infty} x ʹ (x_{n}) = x ʹ (x)

\forall x ʹ \in X ʹ

Dabei ist mit

X ʹ

der Dualraum gemeint.

Hatte ein paar kleine Ideen die überall ins nichts geführt haben. Vielleicht kann mir jemand hier helfen ?

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Katja001 aktiv_icon

12:40 Uhr, 28.11.2022

Eigentlich müsste ich mir einfach ein Funktional wähleen und den Limes betrachten. Also ein gegenbeispiel angeben. Mir fällt kein passendes Funktional ein. Oder sollte ich die Aufgabe mit anderen Mitteln lösen ?

Punov aktiv_icon

17:54 Uhr, 28.11.2022

Hallo,

auf den ersten Blick würde ich meinen, dass dein Beispiel schwach konvergiert.

Meinst du vielleicht

x_{n}^{k} = 0

für

n \leq k

und

x_{n}^{k} = 1

sonst?

Viele Grüße

Katja001 aktiv_icon

20:40 Uhr, 28.11.2022

Nein, ich habe noch mal geschaut es ist so wie ich aufgeschrieben habe, aber danke, dass du über meine Frage nachdenkst :-).

Punov aktiv_icon

09:28 Uhr, 29.11.2022

Hallo,

ich habe nochmal drüber nachgedacht und mein erster Eindruck war falsch, die Folge

(x_{n}^{k})_{k \in ℕ}

konvergiert tatsächlich nicht schwach in

ℓ^{\infty}

.

Beweis:

Ich verwende folgende Resultate aus der Funktionalanalysis:

(1)

c \subset ℓ^{\infty}

, wobei

c := {(t_{n}) : t_{n} \in K, (t_{n}) konvergiert}

(2)

ℓ^{\infty} = (ℓ^{1}) ʹ

mit isometrischem Isomorphismus

T : ℓ^{\infty} \to (ℓ^{1}) ʹ, T (x) (y) = \sum_{i = 1}^{\infty} x_{i} y_{i}

(3) Das stetige Funktional

lim : c \to K

kann auf

ℓ^{\infty}

fortgesetzt werden (Satz von Hahn-Banach). Ich nenne diese Fortsetzung mal

φ

.

Für

k \in ℕ

definiere die Folge

y^{k}

mittels

y^{k} = a - x^{k}

, wobei

a := (1, 1, 1, \dots)

, dann gilt

y_{n}^{k} = 0

für

n \leq k

und

y_{n}^{k} = 1

für

n > k

.

Für jedes

z = (z_{n}) \in ℓ^{1}

gilt für

k \to \infty

, dass

T (y^{k}) (z) = \sum_{n = 1}^{\infty} y_{n}^{k} z_{n} = \sum_{n = k + 1}^{\infty} z_{n} \to 0

.

Das heißt, die Folge

(y_{n}^{k})_{k}

konvergiert schwach-* gegen

0

. Wenn die Folge also schwach konvergent wäre, würde sie gegen

0

konvergieren, da schwache Konvergenz immer schwach-*-Konvergenz impliziert und die Grenzwerte jeweils eindeutig sind.

Dann würde die ursprüngliche Folge

(x_{n}^{k})_{k}

schwach gegen

a

konvergieren, wenn sie schwach konvergent wäre.

Nun gilt aber für das fortgesetzte Limes-Funktional

φ \in (ℓ^{\infty}) ʹ

aus obigem (3), dass

0 = φ (x_{n}^{k})

für alle

k \in ℕ

, jedoch

φ (a) = 1

.

Somit

lim_{k \to \infty} φ (x_{n}^{k}) = 0 \neq φ (a) = 1

.

Somit kann

(x_{n}^{k})_{k}

ℓ^{\infty}

nicht schwach konvergieren.

Viele Grüße

PS. Sorry, dass ich so lange gebraucht habe, war dann doch etwas aufwändiger als vermutet.

Katja001 aktiv_icon

22:49 Uhr, 29.11.2022

Hallo Punov,

ich glaube für euch ist die Aufgabe ungleich schwerer zu lösen als für mich. In der letzten Hausübung hatten wir gezeigt, dass es ein Funktional von

l^{\infty}

gibt mit folgenden Eigenschaften:

s : l^{\infty} (ℝ) \to ℝ

s (T x) = s (x)

für alle

x \in l^{\infty}

wobei

T

der linksshiftoperator ist, also

T (x) = (x_{2}, x_{3}, . . . . .)

wobei

x = (x_{1} . x_{2} . x_{3} . . .)

x \in l^{\infty}

mit

x_{n} > 0

für alle

n

, dann gilt

s (x) > 0

.

3.

s (e) = 1

für

e = (1, 1, 1, . . . . .)

Damit kann man die Aussage denke ich leicht zeigen. Denkst du auch mit diesem Vorwissen ist es leicht zu zeigen nur damit ich keinen Denkfhler habe :-) .

Aber deine Lösung ist wirklich clever.

Liebe Grüße
K

Punov aktiv_icon

08:41 Uhr, 30.11.2022

Hallo, Katja001!

Das Funktional, das du zitierst, ist ein sog. Banachlimes (*) und, abgesehen von der zusätzlichen Shiftinvarianz, im Grunde genau das, was ich als fortgesetztes Limes-Funktional

φ

benutzt habe.

Auch für dein Funktional ist die Idee, dass man zeigt

lim_{k} s (x_{n}^{k}) \neq s (x)

,

wobei

x

der schwache Grenzwert von

(x_{n}^{k})_{k}

wäre.

Dass

lim_{k} s (x_{n}^{k}) = 0

ist ziemlich klar.

Das Problem bleibt zu zeigen, dass

x = (1, 1, 1, \dots)

(sodass

s (x) = 1

).

Ich habe dafür den "Umweg" über die Folge

y^{k}

benutzt, vielleicht geht's auch direkt. Im Moment sehe ich das nicht, aber ich kann nochmal nachdenken.

Viele Grüße

(*) de.wikipedia.org/wiki/Banachlimes

Katja001 aktiv_icon

11:47 Uhr, 30.11.2022

Nochmal was ich gedacht habe.

Aufgrund der Eigenschaft 1. gilt für dieses Funktional für jede Folge wie in der Aufgabe beschrieben:

s (x_{n}) = 0

ich kann den linksshiftoperator ja so oft anwenden sodass ich nur noch die Nullfolge habe. Da

s

linear ist gilt

s (0) = 0

. Der Grenzwert dieser in der Aufgabe beschriebenen Folge ist aber

e = (1, 1, 1, . . . . .)

. Wegen Eigenschaft 3 von

s

gilt

s (e) = 1

.
Damit kann die in der Aufgabe beschriebenen Folge nicht schwach Konvergent sein.

Ich habe es hier nur grob umrissen. Danke Punov für deine Zeit die du investiert hast. Werde nach Funkana vielleicht jetzt öfter Fragen.

Liebe Grüße
K

Punov aktiv_icon

13:11 Uhr, 30.11.2022

Hallo,

alles korrekt!

Nur eine kleine Anmerkung:

> Der Grenzwert dieser in der Aufgabe beschriebenen Folge ist aber

e = (1, 1, 1, . . . . .)

.

Hier müsste es korrekterweise "schwacher Grenzwert" heißen und dass dieser tatsächlich

e

ist, ist zu begründen. Entweder so, wie ich es gemacht habe oder, was noch schöner wäre, mit einer einfacheren Argumentation.

Viele Grüße

Katja001 aktiv_icon

13:25 Uhr, 30.11.2022

Ach so ja. Danke war ungenau von mir formuliert und habe es jetzt auch noch besser verstanden

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