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nichtlinear und durch substitution!

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Partielle Differentialgleichungen

Tags: Partielle Differentialgleichungen

luvious aktiv_icon

19:56 Uhr, 11.04.2011

abend:-)
ich hab hier eine aufgabe, bei der ich iwie gaar nicht weiterkomme, wäre euch wirklich sehr dankbar für eure hilfe!

y' + 2 \frac{y}{x} = 5 {(x \cdot y)}^{3}

Linearisieren Sie diese Gleichung mit Hilfe der Substitution

u = y^{- k}

mit geeignetem κ ∈

N

und bestimmen Sie die allgemeine Lösung für

u

. Durch
Rücksubstitution lässt sich so die allgemeine Lösung für

y

ﬁnden.
Hinweis: Für Diﬀerenzialgleichungen der Form
s′=

a (x) s + b (x)

lässt sich eine
Lösung durch Variation der Konstanten über

s (x) = e^{F (x)} \cdot (\int_{x 0}^{x} b (x') e^{- F (x')} d x' + C)

mit

F (x) = \int_{x 0}^{x} a (x') d x'

finden.
ich habe folgendes gemacht:

\frac{y'}{y^{3}} + \frac{2}{x \cdot y^{2}} = 5 x^{3}

\frac{y'}{y^{3}} + \frac{2}{x \cdot y^{2}} = 0

für eine homogene lsg

\frac{d y}{d x} \cdot \frac{1}{y^{3}} = - \frac{2}{x \cdot y^{2}}

\int \frac{d y}{y} = \int - \frac{2}{x} d x

ln y = - 2 ln x + c

y = - 2 x + c

stimmt das so weit? ich weiß halt nicht was ich mit dem ganzen gegebenen zeugs da oben anfangen soll.jetzt muss ich ja die partielle lsg auch finden.

lg und danke!

Photon aktiv_icon

22:34 Uhr, 11.04.2011

Versuche mal die Substitution für k=2, macht die Sache evtl. etwas einfacher (obwohl da ja auch so schon ganz gut zurechtgekommen bist :-)).

luvious aktiv_icon

16:35 Uhr, 15.04.2011

hmm iwie komm ich aber dann nicht mehr weiter..da stimmt iwas nicht

lg

Rabanus aktiv_icon

18:38 Uhr, 15.04.2011

"da stimmt iwas nicht"

Schon mal richtig erkannt !

Eine homogene Lösung existiert nur bei linearen DGl. !
Deshalb sollst Du ja auch durch Substitution aus der nichtlinearen DGl. eine lineare machen !

Servus

OmegaPirat

18:41 Uhr, 15.04.2011

Hallo

Es handelt sich hierbei nicht um eine partielle DGl, sondern um eine gewöhnliche DGL. Partielle DGL sind nochmal ein eigenes Kapitel und in der Regel viel schwieriger zu lösen.

Desweiteren ist dein Lösungsweg falsch. nur bei linearen Differentialgleichungen ist das Superpositionsprinzip gültig. Das heißt, dass sich die Gesamtlösung additiv aus der Lösung der homogenen Gleichung und einer partikulären Lösung zusammensetzt.
Da du hier keine lineare DGL vorliegen hast, kannst du so natürlich nicht vorgehen. Stattdessen musst du die vorgegebenen Tipps beherzigen

Du sollst die Substitution

u = y^{- k}

durchführen
Das kann man umformen zu

y = u^{- \frac{1}{k}}

Berechne daraus nun

y'

und setz alles in die DGL ein.

Du musst am Ende

k

so wählen, dass die neue DGL möglichst einfach wird. Da hat Photon schon den richtigen Hinweis gegeben.
Dann solltest du eine lineare DGL erhalten.

luvious aktiv_icon

20:00 Uhr, 15.04.2011

oh danke euch!
aber ich hab noch eine frage wegen den tips, die mir gegeben wurden

was heißt denn das

a (x') d x'

genau? ich nehme an, ich muss das

x

ableiten?, aber wieso schreibt man dann nicht

a' (x)

..ich glaube, da gibts einen unterschied oder?
denn dür mein

a (x)

zb hab ich

\frac{4}{x}

raus.da ist doch klar, dass ich nach

x

ableite.

und noch, was setzteich für die grenzen

x 0

und

x

bei den integralen ein?

danke euch wirklich!:-)

OmegaPirat

20:36 Uhr, 15.04.2011

Der Strich hat in diesem Fall nichts mit einer Ableitung zu tun, sondern kennzeichnet die Integrationsvariable.

Rabanus aktiv_icon

23:56 Uhr, 15.04.2011

Animierte (Teil-)Lösung von

y' + 2 \frac{y}{x} = 5 {(x \cdot y)}^{3}

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