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nichtsinguläre Matrix bestimmen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

harold aktiv_icon

10:18 Uhr, 11.12.2009

Hallo, ich bräuchte ein wenig Unterstüzung bei dieser Aufgabe.

Für

α

ℝ

sei

M_{α} = (\begin{matrix} 1 & α & 0 & 0 \\ α & 1 & 0 & 0 \\ 0 & α & 1 & 0 \\ 0 & 0 & α & 1 \end{matrix})

(i)

Bestimmen Sie die Menge derjenigen

α

ℝ

für die

M_{α}

nichtsingulär ist.

Also nichtsingulär bedeutet ja dass die Matrix invertierbar ist also

\exists M_{α}^{- 1}

mit

M_{α} \cdot M_{α}^{- 1} = E_{n}

richtig?

Wie kann man diese Aufgabe lösen? durch bloses ausprobieren? Es gibt doch sicherlich viele verschiedene Möglichkeiten wie man hier

α

wählen kann. Ich bin mir auch niht ganz klar darüber ob die Lösung hier

α = μ \cdot x

oder

α = (\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \\ x 4 \end{matrix})

so aussieht.

viele grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HP7289 aktiv_icon

10:38 Uhr, 11.12.2009

Determinante berechnen. Für welche

α

wird sie ungleich 0?

harold aktiv_icon

10:43 Uhr, 11.12.2009

Wir haben diese Woche Permutationen behandelt und Determinanten werden wir erst nächste Woche behandeln.

Also ich habe gerade mal schnell den Wikipedia Artikel zu Determinanen überflogen.
Hab nun gelesen dass man die Determinante bei einer

4 x 4

Matrix anders als bei einer

3 x 3

berechnet:-). wenn ich das brechnen einer

4 x 4

mir aber gerade richtig angeiegnet habe dann gilt für

α : α \geq 2

oder

α \leq - 1

Trotzdem,würde mich interessieren wie kann man die Aufgabe sonst lösen, da wir Determinanten noch nicht behandelt haben.

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15:11 Uhr, 11.12.2009

Ich hab in dem Post obendrüber nochmal etwas geändert. Wäre sehr nett wenn mir nochmal jemand weiterhelfen kann.

mfg

HP7289 aktiv_icon

17:56 Uhr, 11.12.2009

Wie wäre es mit dem Gaußalgorithmus?

harold aktiv_icon

15:36 Uhr, 12.12.2009

Wie gehe ich dass dann hier an? nehme ich die letzte Zeile als Ergebnisspalte?(dann hätte ich ja schon

α = 1)

.

Gaußalgorithmus heißt doch ich will das ganze in Diagonalenform bringen. Aber zum Beispiel das

α

aus Zeile 2 kann man doch agrnicht eliminieren.

HP7289 aktiv_icon

15:44 Uhr, 12.12.2009

Gaußalgorithmus heißt beim Invertieren was anderes.

Schritt 1: Schreibe die Matrix und daneben die Einheitsmatrix.

(\begin{matrix} 1 & α & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ α & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & α & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & α & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Schritt 2: Forme die 4x8-Matrix so um, dass das in der linken 4x4-Matrix die Einheitsmatrix steht.

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & ... \\ 0 & 1 & 0 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 1 & 0 & ... \\ 0 & 0 & 0 & 1 & ... \end{matrix})

Die rechte 4x4-Matrix ist das Inverse der ursprünglichen Matrix.

Während der Umformung wirst du durch

α o

. Ä. teilen müssen. Daran erkennst du welche Werte

α

nicht annehmen darf.

harold aktiv_icon

15:53 Uhr, 12.12.2009

Ok danke, dieses Verfahren habe ich auch schon kennen gelernt.
Ich weiß aber nicht wie ich

(\begin{matrix} 1 & α & 0 & 0 \\ α & 1 & 0 & 0 \\ 0 & α & 1 & 0 \\ 0 & 0 & α & 1 \end{matrix})

in die Einheitsmatrix umformen kann.
hierfür müsste ich ja alle

α

´s eliminieren. Aber wie bekommt man das

α

in der 2. oder 4 Zeile weg? genauso: man kann in Zeile 1 und 3 das

α

eliminieren, aber dann bekommt man die

- 1

die dafür bleibt nicht weg....

Ich scheine hier auf dem Schlauch zu stehen.

HP7289 aktiv_icon

16:06 Uhr, 12.12.2009

(\begin{matrix} 1 & α & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ α & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & α & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & α & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Zweite Zeile: minus

α

mal erste Zeile

(\begin{matrix} 1 & α & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 - α^{2} & 0 & 0 & - α & 1 & 0 & 0 \\ 0 & α & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & α & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Zweite Zeile: geteilt durch

(1 - α^{2})

(\begin{matrix} 1 & α & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{α}{1 - α^{2}} & \frac{1}{1 - α^{2}} & 0 & 0 \\ 0 & α & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & α & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

Erste Zeile: minus

α

mal zweite Zeile
Dritte Zeile: minus

α

mal zweite Zeile

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{1 - α^{2}} & - \frac{α}{1 - α^{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & - \frac{α}{1 - α^{2}} & \frac{1}{1 - α^{2}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & \frac{α^{2}}{1 - α^{2}} & - \frac{α}{1 - α^{2}} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & α & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

usw.

harold aktiv_icon

16:18 Uhr, 12.12.2009

Ok vielen Dank für deine Mühe.

Kann ich anhand der invertierten Matrix dann ablesen, dass

\frac{α}{1 - α^{2}}

die Menge aller

α

ist für die die Matrix invertierbar ist?

Muss ich dann bei aufgabenteil (ii) Bestimmen sie für nichtsinguläre

M_{α}

die Inverse

M_{α}^{- 1}, \frac{α}{1 - α^{2}}

für die

α

einsetzen und dann dasselbe Verfahren nochmal machen?

HP7289 aktiv_icon

16:21 Uhr, 12.12.2009

Du machst quasi beiden Aufgaben zusammen. Du erhältst die Inverse und siehst an ihrer Struktur, für welche

α

sie nicht existiert.

Hinweis: Das sind alle

α,

so dass irgendein Nenner 0 wird!

harold aktiv_icon

16:24 Uhr, 12.12.2009

Ok danke.

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