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nilpotente Matrix

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

 
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lina12

lina12 aktiv_icon

23:54 Uhr, 12.10.2019

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Hallo Leute,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.

die a),b) und c) habe ich gerechnet bin mir nicht sicher ob das so passt und bei der d) komme ich irgendwie nicht weiter.

Könntet ihr schauen ob die ersten drei Teilaufgaben richtig sind und mir helfen die d) zu beweisen?

Vielen Dank im Voraus und Liebe Grüße :-)

Bildschirmfoto 2019-10-12 um 23.53.15
Bildschirmfoto 2019-10-12 um 23.41.29

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

09:41 Uhr, 13.10.2019

Antworten
Hallo,
leider sind deine Lösungen alle falsch.
Die zu einer symmetrischen Bilinearform gehörige Matrix bzgl.
einer Basis ist immer eine symmetrische Matrix.
Ferner gibt es den hier wichtigen Satz, dass eine reelle
symmetrische Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist,
deren Diagonalelemente die Eigenwerte der Matrix sind.
Gruß ermanus
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

16:46 Uhr, 13.10.2019

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Hallo,
wir wollen mal (a) beweisen:
Da A und 2A ähnlich sind, sind ihre charakteristischen
Polynome gleich,
also:
pA(X)=det(XEn-A)=p2A(X)=det(XEn-2A)=2ndet(X2-A)=2npA(X2)
Nun ist
pA(X)=Xn+an-1Xn-1++a1X+a0
und
2npA(X2)=Xn+2an-1Xn-1++2n-1a1X+2na0.
Diese beiden Polynome sollen gleich sein, also müssen ihre Koeffiziemten gleich sein,
d.h.
an-1=2an-1,,a1=2n-1a1,a0=2na0.
Hieraus folgt:
an-1==a1=a0=0,
Damit ist pA(X)=Xn. Gemäß Cayley-Hamilton folgt An=0.
Also ist A nilpotent.
Gruß ermanus
lina12

lina12 aktiv_icon

21:46 Uhr, 13.10.2019

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super danke dir:-)

die c) habe ich jetzt mir einem Gegenbeispiel gezeigt wo jetzt auch symmetrisch ist :-)

die b) stimmt schon aber ich finde keinen Ansatz und bei der d) genauso.

wäre toll wenn du mir helfen könntest:-)
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:03 Uhr, 13.10.2019

Antworten
Zu (b):
Die darstellende Matrix A=(aij) von β ist so definiert,
dass aij=β(vi,vj) für Basisvektoren v1,,vn gilt.
β heißt positiv definit, wenn β(v,v)>0 für alle Vektoren v0
gilt. Also gilt insbesondere aii=β(vi,vi)>0.

soweit erstmal. (d) liefere ich gleich nach ...
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

22:14 Uhr, 13.10.2019

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(d):
Da A symmetrisch ist, gibt es invertierbare Matrix S, so dass
S-1AS=D eine Diagonalmatrix diag(d1,,dn) ist.
Sei nun Ar=0. Zeige, dass dann auch Dr=diag(d1r,,dnr)=0 ist, folgere
daraus, dass D=0 ist und daher schließlich auch A.

(c) hast du ja bereits gelöst :-)

Gruß ermanus

Frage beantwortet
lina12

lina12 aktiv_icon

23:10 Uhr, 13.10.2019

Antworten
Danke dir :-)