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nilpotente Matrix

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angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra

lina12 aktiv_icon

23:54 Uhr, 12.10.2019

Hallo Leute,

ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter.

die

a), b)

und

c)

habe ich gerechnet bin mir nicht sicher ob das so passt und bei der

d)

komme ich irgendwie nicht weiter.

Könntet ihr schauen ob die ersten drei Teilaufgaben richtig sind und mir helfen die

d)

zu beweisen?

Vielen Dank im Voraus und Liebe Grüße :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ermanus aktiv_icon

09:41 Uhr, 13.10.2019

Hallo,
leider sind deine Lösungen alle falsch.
Die zu einer symmetrischen Bilinearform gehörige Matrix bzgl.
einer Basis ist immer eine symmetrische Matrix.
Ferner gibt es den hier wichtigen Satz, dass eine reelle
symmetrische Matrix ähnlich zu einer Diagonalmatrix ist,
deren Diagonalelemente die Eigenwerte der Matrix sind.
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

16:46 Uhr, 13.10.2019

Hallo,
wir wollen mal (a) beweisen:
Da

A

und

2 A

ähnlich sind, sind ihre charakteristischen
Polynome gleich,
also:

p_{A} (X) = \det (X \cdot E_{n} - A) = p_{2 A} (X) = \det (X \cdot E_{n} - 2 A) = 2^{n} \det (\frac{X}{2} - A) = 2^{n} p_{A} (\frac{X}{2})

Nun ist

p_{A} (X) = X^{n} + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_{1} X + a_{0}

und

2^{n} p_{A} (\frac{X}{2}) = X^{n} + 2 a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + 2^{n - 1} a_{1} X + 2^{n} a_{0}

.
Diese beiden Polynome sollen gleich sein, also müssen ihre Koeffiziemten gleich sein,
d.h.

a_{n - 1} = 2 a_{n - 1}, \dots, a_{1} = 2^{n - 1} a_{1}, a_{0} = 2^{n} a_{0}

.
Hieraus folgt:

a_{n - 1} = \dots = a_{1} = a_{0} = 0

,
Damit ist

p_{A} (X) = X^{n}

. Gemäß Cayley-Hamilton folgt

A^{n} = 0

.
Also ist

A

nilpotent.
Gruß ermanus

lina12 aktiv_icon

21:46 Uhr, 13.10.2019

super danke dir:-)

die

c)

habe ich jetzt mir einem Gegenbeispiel gezeigt wo jetzt auch symmetrisch ist :-)

die

b)

stimmt schon aber ich finde keinen Ansatz und bei der

d)

genauso.

wäre toll wenn du mir helfen könntest:-)

ermanus aktiv_icon

22:03 Uhr, 13.10.2019

Zu (b):
Die darstellende Matrix

A = (a_{i j})

von

β

ist so definiert,
dass

a_{i j} = β (v_{i}, v_{j})

für Basisvektoren

v_{1}, \dots, v_{n}

gilt.

β

heißt positiv definit, wenn

β (v, v) > 0

für alle Vektoren

v \neq 0

gilt. Also gilt insbesondere

a_{i i} = β (v_{i}, v_{i}) > 0

.

soweit erstmal. (d) liefere ich gleich nach ...

ermanus aktiv_icon

22:14 Uhr, 13.10.2019

(d):
Da

A

symmetrisch ist, gibt es invertierbare Matrix

S

, so dass

S^{- 1} A S = D

eine Diagonalmatrix

d i a g (d_{1}, \dots, d_{n})

ist.
Sei nun

A^{r} = 0

. Zeige, dass dann auch

D^{r} = d i a g (d_{1}^{r}, \dots, d_{n}^{r}) = 0

ist, folgere
daraus, dass

D = 0

ist und daher schließlich auch

A

.

(c) hast du ja bereits gelöst :-)

Gruß ermanus

lina12 aktiv_icon

23:10 Uhr, 13.10.2019

Danke dir :-)

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