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nirgends dichte und magere Mengen, Äquivalenz

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis

i-benni aktiv_icon

13:53 Uhr, 08.04.2014

Hallo, ich habe noch einmal eine Frage...in meinem Lehrbuch zur Funktionalanalysis steht folgendes:
(Zur Erinnerung: Eine Teilmenge

A \subseteq M

eines metrischen Raumes M heißt nirgends dicht, falls

{\bar{A}}^{\circ} = \emptyset

.)

a) Eine Menge

A \subseteq M

ist genau dann abgeschlossen und nirgends dicht, wenn ihr Komplement

A^{c} = M \ A

in M offen und dicht ist.
Diesen Teil konnte ich noch zeigen. Dann geht es weiter:

Folglich ist eine beliebige Menge

N \subseteq M

genau dann nirgends dicht, wenn dies auf

\bar{N}

zutrifft, wenn also N zu einer in M offenen und dichten Menge (nämlich

{\bar{N}}^{c}

) disjunkt ist.

Diese Aussgae möchte ich nun zeigen und komme dabei nicht so richtig zum Ziel.
Wenn

{\bar{N}}^{c}

offen und dicht ist, ist nach dem ersten Teil

({\bar{N}}^{c})^{c}

abgeschlossen und nirgends dicht und es gilt

M = \bar{{\bar{N}}^{c}}

.

Nun soll also gelten

N \cap {\bar{N}}^{c} = \emptyset

.

Was ich noch gemacht habe ist

M = {\bar{{\bar{N}}^{c}}}^{c} = \bar{(N^{c})^{\circ}} \overset{}{\Leftrightarrow} \emptyset = (\bar{(N^{c})^{\circ}})^{c} = . . . = {\bar{N}}^{\circ}

Aber hier geht ja nirgendwo die Bedingung ein, dass

N

und

{\bar{N}}^{c}

diskunkt sein sollen, geschweige denn erkenne ich dass auch

\bar{N}

nirgends dicht ist.

Ich bin wirklich am verzweifeln^^
Danke, und VG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

14:34 Uhr, 08.04.2014

Sorry, aber

N \cap {\overline{N}}^{c} = \emptyset

gilt für alle Mengen

N

i-benni aktiv_icon

14:38 Uhr, 08.04.2014

Ja gut, klar ^^.
Aber was soll dann die Forderung in dem Satz?
Ist dann meine Rechnung doch schon der Beweis?

DrBoogie aktiv_icon

14:57 Uhr, 08.04.2014

Wenn es um die Aussage "eine beliebige Menge

N \subseteq M

genau dann nirgends dicht, wenn dies auf

\overline{N}

zutrifft" geht, dann ist sie trivial, denn

{\overline{(\overline{N})}}^{\circ} = {\overline{N}}^{\circ} .

Wenn es um die Aussage "

\overline{N}

n.d. genau dann, wenn

N

zu einer in

M

offenen und dichten Menge disjunkt ist" geht dies direkt aus dem Resulat "eine Menge

A \subseteq M

ist genau dann abgeschlossen und nirgends dicht, wenn ihr Komplement

A^{c} = M \ A

M

offen und dicht ist", wenn man berücksichtigt, dass

N \subset \overline{N}

und dass wenn

N \cap O = \emptyset

mit offenem

O

, dann auch

\overline{N} \cap O = \emptyset

(der Beweis dafür ist

N \cap O = \emptyset = > N \subset O^{c} = > \overline{N} \subset O^{c} = > \overline{N} \cap O = \emptyset

i-benni aktiv_icon

12:37 Uhr, 09.04.2014

Danke, so richtig zum Ziel komme ich aber immernoch nicht....
Ich fange an mit

N \cap O = \emptyset

. Dann ist, wie du beschrieben hast, auch

\bar{N} \cap O = \emptyset

.
Jetzt müsste ich doch Äquivaelnzumformungen machen und dann Schlussendlich

{\bar{N}}^{\circ} = \emptyset

erhalten...
Also in etwa so

\bar{N} \cap O = \emptyset \overset{}{\Leftrightarrow} {\bar{N}}^{c} \cup O^{c} = M

aber ich komme nie zu dem letzten Resultat...

O^{c}

ist ja abgeschl. und nirgends dicht aber das bringt mich auch nicht auf den nächsten Schritt...

DrBoogie aktiv_icon

12:48 Uhr, 09.04.2014

"Jetzt müsste ich doch Äquivaelnzumformungen machen und dann Schlussendlich

{\overline{N}}^{\circ} = \emptyset

erhalten..."

Nein, wozu Umformungen? Du hast doch schon dieses Ergebnis:
"eine Menge

A \subseteq M

ist genau dann abgeschlossen und nirgends dicht, wenn ihr Komplement

A^{c} = M \ A

M

offen und dicht ist".
Es geht darum, es zu nutzen. Wenn

\overline{N} \cap O = \emptyset

mit einem dichten offenen

O

, dann gilt

O \subset {\overline{N}}^{c}

, weswegen

{\overline{N}}^{c}

auch dicht ist und natürlich auch offen, also nach oben stehenden Ergebnis

\overline{N}

nirgends dicht und deshalb auch

N

nirgends dicht. Alles.

i-benni aktiv_icon

13:15 Uhr, 09.04.2014

Ahh ja wenn man dran denkt, dass

{\bar{N}}^{c} a u c h d i c h t i s t, i s t e s j a w i r k l i c h l e i c h t . . .

Aber gut streng genommen muss ja Hin- und Rückrichtung gezeigt werden, aber die Schritte sind doch eigentlich alle äquivalent nicht wahr?

Mich hatte auch verwirrt, dass in dem Satz steht, dass jene offene disjunkte Menge gerade

{\bar{N}}^{c}

sein soll...also dass N zu dieser Menge disjunkt ist, ist klar aber es wird ja nun im Beweis ein "beliebiges" offenes dichtes O genommen...

\to

Zitat "eine bel. Menge

N \subseteq M

ist genau dann n.d., wenn N zu einer in M offenen und dichten Menge

(\underline{n ä m l i c h {\bar{N}}^{c}}

) disjunkt ist.

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