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noch was zu ableitungen
Schüler Fachschulen, 11. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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anonymous 18:19 Uhr, 05.12.2006  |
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gegeben sind die funktionen f(x)=x³-3x²-x+4 und g (x)= -4x+5 a) zeichnen sie mithilfe einer wertetabelle die graphen von f und g für -1<x<3 unter den größer fleich zeichen ist noch so ein strich. c)zeigen sie das f und g in ihrem schnittpunkt diesselbe steigung haben. d)für welche punkte verlaufende die tangenten des graphen von f senkrecht zum graphen der funktion g? also da weiß ich nur man muss mit m1*m2=-1 irgendwas machen. e)zeigen sie das f die parallele zur x achse durch y=1 in winkeln von 75,96 bzw 82,88 grad schneidet. g) für welche x werte ist die steigung von f größer als 104? h) untersuchen sie das grenzverhalten von f(x)/g(x) für x gegen umgedrehte acht(was bedeutet das nochmal?) also wäre echt mega geil wenn jemand die lösen könnte weil ich hab absolute keine ahnung und schreibe jetzt bald eine arbeit.am donnerstag. danke schonmal im vorraus. mfg |
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c) Gleichsetzen f(x)=g(x) <=> x3 -3x2 +3x -1 = (x-1 )3 =0 => x=1 ist einziger Schnittpunkt. g`(x)= -4 ist klar`und damit auch g`(1)= -4 ?! Und f`(x)= 3x2 -6x -1 mit x=1 eingesetzt ergibt f`(1)=3-6-1= -4, also f`(1) = g`(1)= -4 - Nebensächliches: f hat bei W(1/1) einen Wendepunkt und die Gerade g ist damit Wendetangente. d) Gute Idee, dies .... m1*m2=-1. Die Steigung von g ist überall = -4. Wir suchen also ein x, sodass f`(x)= 1/4. Ableitung steht schon unter (c), also löse die Gleichung 3x2 -6x -1 = 1/4... Es gibt davon 2: x1 = 1 + WUrzel(17/12) ~ 2,19 oder x1 = 1 - WUrzel(17/12) ~ -0,19 ...(ohne Gewähr) e) Suche x mit f(x) = 1. Scharfes Hinsehen lässt ganzzahlige Lösungen x=1 oder x= -1 oder x=3 erkennen. Es gibt also 3 Lösungen. Für den Steigungswinkel a gilt: f`(x) = tan(a) ;siehe [1]. Bsp.: f`(1) = -4 = tan(a) => a= arctan(-4) ~ -75,96° (beachte das Minus davor...) Bsp.: f`(-1) = f`(3) = 8 => a= arctan(8) ~ +82,87° (abgerundet) g) Suche x mit f`(x) > 104 (auf eine Seite bringen; durch 3 teilen) und gleichwertig (x+5)(x-7) > 0 erkennen. Das sind die 2 Intervalle x > 7 und x < -5 (Begründung: im 1-ten Fall wg. PLUS * PLUS > 0 ; im 2-ten wg. MINUS * MINUS > 0). h) ... umgedrehte Acht oo bedeutet `unendlich` , sprich sehr grosse x. - In dieser Aufgabe wird die sog. `Polynomdivision` verlangt.... f(x)/g(x) = (-1/4)x² +(7/16)x + (51/64) Rest (1/64) ... (ohne Gewähr) bzw. f(x)/g(x) = (-1/4)x² +(7/16)x + (51/64) - 1/(256x -320) f/g sieht `also in der Ferne` aus wie die nach unten geöffnete Parabel (-1/4)x² +(7/16)x + (51/64), denn der restliche Term - 1/(256x -320) wird für x--> +- OO beliebig klein. - Man kann noch etwas genauer sein... f/g schmiegt sich von unten an die Parabel (-1/4)x² +(7/16)x + (51/64) für x--> +oo (beachte bei positiven x den Korrekturterm), im Fall x--> -oo schmiegt sie sich von oben an. - Anschmiegefunktionen mit diesem Verhalten nennt man btw. Asymptoten. ______________________ [1] Steigung ist ja Gegenkathete/Ankathete |
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