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noethersche Ordnung

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Tags: Funktion

wild21 aktiv_icon

01:22 Uhr, 31.01.2012

Seien

(A, \leq), (B, \leq),

(AxB,

\leq)

Ordnungen.
Zeigen Sie, dass, falls

(A, \leq), (B, \leq)

noethrisch sind, auch (AxB,

\leq)

noethrisch ist.

Definition:

(a, b) \leq (a', b') : \Leftrightarrow a \leq a' \land b \leq b'

für alle

(a, b), (a', b') \in

AxB

K \leq L : \Leftrightarrow \exists k K : \exists l \in L :

kRl

für alle

K, L \in A / \equiv_{R}

\equiv_{R} := {(x, y) \in

AxA | xRy

\land

yRx

}

mit sei A Menge und

R

reflexive und transitive Relation auf A

(B, \leq),

wobei das "<" eher wie ein eckiges

c

aussieht.
(AxB,

\leq),

wobei das "<" nicht su gerade, sondern eher rund aufbiegt.

(a, b) \leq (a', b'),

wobei das "<" eher wie ein eckiges

c

aussieht.

Beweis:
Seien (AxB,

\leq)

Menge und

C \subseteq

(AxB,

\leq)

.

zu zeigen: noethersch:

\exists x \in C : x

ist minimales Element
minimales Element in

C,

falls

\exists

kein

y \in C : y < x (y < x,

wobei das "<" eher wie ein eckiges

c

aussieht)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

wild21 aktiv_icon

01:28 Uhr, 31.01.2012

Beweis:
Seien (AxB,

\leq)

Menge und

C \subseteq

(AxB,

\leq)

.

zu zeigen: noethersch:

\exists x \in C : x

ist minimales Element
Es ist minimales Element in

C,

falls

\exists

kein

y \in C : y < x (y < x,

wobei das "<" eher wie ein eckiges

c

aussieht)

Weiter, als

\exists

Quantor in eine

\forall

umzuformen komme ich leider nicht:

Es ist minimales Element in

C,

falls

\forall y \in C : y \geq x

Tipps aller Art sind also herzlich willkommen :-)

hagman aktiv_icon

13:42 Uhr, 31.01.2012

Bei deiner Umformung von

\exists

\forall

gehst du allerdings davon aus, dass die betrachteten Ordnungen Totalordnungen sind. So, wie du die Ordnung auf

A \times B

definiert hast, ist das jedoch spätestens für diese nicht der Fall, sobald

A

und

B

je mindestens zwei Elemente haben.

hagman aktiv_icon

13:51 Uhr, 31.01.2012

Aber zurück zur Aufgabenstellung:
Wenn man

C \subseteq A \times B

auf die erste Komponente projiziert, erhält man eine (ebenfalls nicht leere) Teilmene

C' \subset A

. Diese enthält nach Voraussetzung ein minimales Element

a_{0}

. Die Projektion von

C \cap ({a_{0}} \times B)

auf die zweite Komponente ist eine nichtleere Teilmenge von

B,

hat also ein minimales Element

b_{0}

.
Zeige:

(a_{0}, b_{0})

ist minimales Element von

C

wild21 aktiv_icon

14:52 Uhr, 31.01.2012

Was ist den eine Projektion?

hagman aktiv_icon

16:51 Uhr, 31.01.2012

Hier meinte ich die kanonischen Abbildungen des Kreuzproduktes auf die Faktoren, also

π_{1} : A \times B \to A, (x, y) \mapsto x

bzw.

π_{2} : A \times B \to B, (x, y) \mapsto y

Ich wähle also für

a_{0}

ein minimales Element von

π_{1} (C)

und dann für

b_{0}

ein minimales Element von

π_{2} (C \cap ({a_{0}} \times B))

.

Angenommen

(a, b) \leq (a - 0, b_{0})

für ein

(a, b) \in C

.
Das bedeutet

a \leq a_{0}

und

b \leq b_{0}

.
Wegen

a = π_{1} (a, b) \in π_{1} (C)

folgt aus

a \leq a_{0}

dann

a = a_{0}

.
Damit ist

b = π_{2} (a, b) \in π_{2} (C \cap ({a} \times B)) = π_{2} (C \cap ({a_{0}} \times B)),

also wegen

b \leq b_{0}

auch

b = b_{0}

michaL aktiv_icon

16:55 Uhr, 31.01.2012

Hallo,

schau mal in www.onlinemathe.de/forum/noethersche-Ordnung-2

Dort hat jemand eine sehr ähnliche Frage wie du.

Mfg Michael

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