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normale untergruppe, kurze Frage

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Tags: Gruppen, Relation.

Katja001 aktiv_icon

13:16 Uhr, 19.01.2023

Hallo ans Forum,

habe eine kurze frage:

Wir haben

G

als endliche Gruppe mit neutralem Element

f

und es gilt für alle

a, b \in G

[a, b] := a b a^{- 1} b^{- 1}

Damit konnte ich zeigen, dass

a b = [a, b] b a

ist. Ich nenne es mal

(*)

Nun zur Aufgabe: sei

K (G) := < {[a, b] : a, b \in G} > \subseteq G .

Neheḿen sie an, dass

K (G) \subseteq G

eine normale Untergruppe ist. zeigen sie, dass dann

G / K (G)

eine abelsche Gruppe ist.

Dann habe ich folgendes gemacht:

g, h \in G / K (G)

. Dann weiß ich es gibt

c, d \in G

mit

g = [c], h = [d]

. Dann weiter:

g \cdot h = [c] \cdot [d] = [c d] = (*) = [[c, d] d c] = [[c, d] d] \cdot [c] = [[c, d] d] \cdot g

.

kann mir jemand kurz erklären warum

[[c, d] d] = h

gelten soll. Irgendwie sehe ich es nicht.

Ich könnte es auflösen und dann steht da:

[[c, d] d] = [c d c^{- 1} d^{- 1} d] = [c d c^{- 1}]

hier muss gelten(, also diesen Schritt verstehe ich nicht)

= [d] = h

Leider sehe ich diesen wahrscheinlich kleinen einfachen Schritt nicht. Weil auf

c d c^{- 1}

kann ich die Normalität der Gruppe

K (G

) gar nicht anwenden oder ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Katja001 aktiv_icon

10:15 Uhr, 20.01.2023

Hat keiner eine Idee ? Gerne würde ich auch eine andere Art sehen die Aufgabe zu lösen.

Viele Grüße

Katja001 aktiv_icon

19:35 Uhr, 21.01.2023

Ich probiere es hier noch einmal an oberste Stelle zu rücken. Komisch, diese Aufgabe ist eine Klausuraufgabe aus einer Altklausur, dachte daher das die Antwort nicht so schwer sein kann, weil altklausur fragen immer etwas leichter sind.