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normaler Endomorphismus, beweis rang gleich

Universität / Fachhochschule

Tags: euklidische unitäre Vektorräume, normale Endomorphismen

 
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anonymous

anonymous

12:12 Uhr, 23.04.2010

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Hallo

Ich brauche Hilfe bei folgender Aufgabe:

φ:VV ein normaler Endomorphismus, V endl. dim. orhogonaler oder unitärer Vektorraum:
Ich soll zeigen: rg φ= rg φ2,
wobei gilt: vV kann eindeutig dargestellt werden als: v=u+w mit u in Bild φ und w in Kern φ,uw

Wäre nett, wenn mir da jemand helfen könnte.
Danke im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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hagman

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16:53 Uhr, 23.04.2010

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Wenn du V=BildφKernφ bereits weisst, dann ist klar, dass es einen Automorphismus
φ1:BildφBildφ gibt mit φ(u+w)=φ1(u) für uBildφ,wKernφ.
Dann ist aber Bildφ2=Bildφ12=Bildφ
anonymous

anonymous

14:22 Uhr, 24.04.2010

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Wie kommt man auf φ(u+w)=φ1(u)?
Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

16:19 Uhr, 24.04.2010

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φ(u+w)=φ(u)+φ(w)=φ(u)+0 wegen wKernφ
Wegen uBildφ und natürlich φ(u)Bildφ erlaubt dies die Definition der Abbildung
φ1:Bild phi->Bild φ, die eben gerade uφ(u) abbildet.
Diese φ1 (was nur ein geeignet eingeschränktes φ ist) ist also zunächst einmal ein Endomorphismus von Bildφ.
φ1 ist aber auch surjektiv, denn zu jedem uBildφ gibt es ein vV mit φ(v)=u.
Zerlegt man v wiederum in einen Bild- und einen Kernanteil v=v1+v2 mit v1Bildφ,v2Kernφ, so folgt auch φ(v1)=u, also uBildφ1.
Wegen dimV< gilt: φ1 surjektiv φ1 ist Automorphismus

anonymous

anonymous

11:20 Uhr, 25.04.2010

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ist φ1 denn auch injektiv???
Und wie kommt man damit dann auf: Bild φ2= Bild φ12= Bild φ ???
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hagman

hagman aktiv_icon

11:37 Uhr, 25.04.2010

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Bei endlichdimensionalen Vektorräumen (wie hier) ist ein Endomorphismus (oder allgemein eine lineare Abbildung zwischen gleichdimensionalen Räumen) genau dann injektiv, wenn er surjektiv ist.
anonymous

anonymous

12:27 Uhr, 25.04.2010

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ok, aber wie kommt man dann schließlich auf die obige Gleichung ???
Antwort
anonymous

anonymous

16:07 Uhr, 25.04.2010

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Hab die Aufgabe auch vor mir
Wie kann man dann von diesem Automorphismus auf rg φ= rg φ2 folgern? Glaube mir ist das nicht so ganz klar. Hagman, wär super, wenn du das nochmal erklären könntest. Danke im Voraus!
Frage beantwortet
anonymous

anonymous

14:26 Uhr, 26.04.2010

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Hat sich erledigt. Habs hingekriegt!!
Danke

(@hagman, vielleicht kannst du uns bei der anderen Aufgabe (elenastudie) helfen,...)