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nte- Ableitung Potenzreihe

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Tags: Folgen, Reihen, Sonstiges

nero08 aktiv_icon

23:06 Uhr, 29.06.2011

Hallo,

hab eine Frage zur nten- Ableitung der Potenzreihe $f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{k} * (x - x_{0})^{n}$

die ein ansatz zur nten Ableitung wäre $\sum_{n = k}^{\infty} a_{k} * (n * (n - 1) * (n - 2) .... (n - k + 1)) * {(x - x_{0})}^{n - k}$

ich wiß, man kann das weiter vereinfachen aber wie komme ich dazu?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Edddi aktiv_icon

08:33 Uhr, 30.06.2011

...ich bekomm' was anderes raus:

$f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{k} \cdot {(x - x_{0})}^{n} = a_{k} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} {(x - x_{0})}^{n}$

$f (x) = a_{k} \cdot [{(x - x_{0})}^{0} + {(x - x_{0})}^{1} + {(x - x_{0})}^{2} + {(x - x_{0})}^{3} + ...]$

$f (x) = a_{k} \cdot [1 + {(x - x_{0})}^{1} + {(x - x_{0})}^{2} + {(x - x_{0})}^{3} + ...]$

$f' (x) = a_{k} \cdot [0 + 1 + 2 \cdot {(x - x_{0})}^{1} + 3 \cdot {(x - x_{0})}^{2} + ...]$

$f'' (x) = a_{k} \cdot [0 + 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 2 \cdot {(x - x_{0})}^{1} + 4 \cdot 3 \cdot {(x - x_{0})}^{2} ...]$

$f''' (x) = a_{k} \cdot [0 + 0 + 0 + 3 \cdot 2 \cdot 1 + 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot {(x - x_{0})}^{1} + 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot {(x - x_{0})}^{2} ...]$
.
.
$f^{n} (x) = a_{k} \cdot [\frac{(n + 0)!}{(n + 0 - n)!} + \frac{(n + 1)!}{(n + 1 - n)!} \cdot {(x - x_{0})}^{1} + \frac{(n + 2)!}{(n + 2 - n)!} \cdot {(x - x_{0})}^{2} + \frac{(n + 3)!}{(n + 3 - n)!} \cdot {(x - x_{0})}^{2} ...]$

$f^{n} (x) = a_{k} \cdot [\frac{(n + 0)!}{0!} + \frac{(n + 1)!}{1!} \cdot {(x - x_{0})}^{1} + \frac{(n + 2)!}{2!} \cdot {(x - x_{0})}^{2} + \frac{(n + 3)!}{3!} \cdot {(x - x_{0})}^{2} ...]$

$f^{n} (x) = a_{k} \cdot \sum_{i = 0} \frac{(n + i)!}{i!} \cdot {(x - x_{0})}^{i}$

;-)

nero08 aktiv_icon

12:00 Uhr, 30.06.2011

super danke!

wenn ich das ganze jetzt noch weiter treibe kann ichs chreiben:

$\sum_{i = n}^{\infty} a i * \frac{i!}{(i - n)!} * {(x - x_{0})}^{i - n}$

PS: ich glaub es gehört ai oder? okay ich glaub du hast ak genommen, weil du es rausgehoben hast oder?

Edddi aktiv_icon

12:10 Uhr, 30.06.2011

...du hattest in deiner urspr. Reihendarstellung $a_{k}$ zu stehen und somit seh' ich es als Konstante, da kein Index $n$ dranstand.

Somit hab ich $a_{k}$ als Faktor rausgezogen.

Sollte es sich um $a_{i}$ handeln, dann muss es natürlich drinbleiben.

Somit wäre auch deine Darstellung korrekt.

;-)

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