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nullteilerfrei Ring = Körper?

Schüler Universitäre Hochschule, 13. Klassenstufe

Tags: Körper, Ring

 
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sabsi

sabsi

01:05 Uhr, 16.01.2011

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R sei Ring, und zu zeigen ist " jeder nullteilerfreie endliche Ring R, ist ein Körper"

nullteilerfrei heißt ja soweit ich weiß :a⋅b=0⇒a=0 oder b=0... oder??

Bräuchte hilfe beim Beweis, geht der über die Charakteristik des endlichen Körpers?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Sina86

Sina86

16:21 Uhr, 16.01.2011

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Hi,

Ist bei euch in einem Ring immer die 1 enthalten? Der Ring erfüllt ja schon fast alle Eigenschaften eines Körpers. Eigentlich musst du noch zwei Dinge zeigen:
1.) Der Ring ist kommutativ (also a⋅b=b⋅a, für alle a,b∈R)
2.) Zu jedem Element a∈R gibt es ein b∈R, so dass a⋅b=1 ist.

Die Charakteristik hilft einem da nicht unbedingt weiter. Du solltest dir für 2.) die Translationen, also die Abbildungen ψa(b)=a⋅b anschauen, für a≠0, und diese dann auf Bijektivität untersuchen. Was kann man dann daraus schlussfolgern?

Bei 1.) muss man das, denk ich einfach nachrechnen und wahrscheinlich irgendwo einen kleinen Trick anwenden, aber ich glaube das sollte keine so große Sache sein...

Gruß
Sina
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