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nullteilerfreier endlicher Ring

Universität / Fachhochschule

Körper

Ringe

Tags: Körper, Ring

epsilon90 aktiv_icon

10:20 Uhr, 17.01.2011

Howdy,

Ich soll zeigen dass jeder endliche nullteilerfreie Ring ein Körper ist.

Also( meine Überlegung) : nullteilerfrei heißt ja

a \cdot b = 0 \Rightarrow a = 0

oder

b = 0 .

und damit das nen Körper ist muss er die Körperaxiome erfüllen:

1 .)

kommutativität bzgl

+

und

\cdot

2.)bzgl

\cdot

muss es zu jedem Element ein inverses geben

leider weiß ich nicht wie ich die zwei punkte beweisen kann- hoffe mir kann wer helfen- und ist die Überlegung eigentlich korrekt?

Gruß Benni

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Raummessung

hannale91 aktiv_icon

10:47 Uhr, 17.01.2011

vielleicht hilft dir das weiter :

http://de.wikibooks.org/wiki/Beweisarchiv:_Algebra:_Körper:_Endlicher_Integritätsbereich

lg

epsilon90 aktiv_icon

10:49 Uhr, 17.01.2011

muss also ein KOMMUTATIVER endlicher nullteilerfreier ring gegeben sein damit das stimmt?

hannale91 aktiv_icon

10:57 Uhr, 17.01.2011

hab genau die selbe aufgabe

. .

.

zuerst sollst du (glaub ich) zeigen, dass der Ring kommutativ ist (is ja die vorraussetzung, damit ein ring überhaupt ein körper sein kann)
dann (wieder nach meiner überlegung) sollst du zeigen, dass der Ring ein einselement besitzt. (KEINE ahnung wie man das macht, hab das dann infach angenommen)

und dann kommt: sei a ein element des ringes mit a ungleich 0
dann ist zu zeigen: für alle a die element des körpers sind, existiert ein inverses element

a^{- 1}

bezüglich der multiplikation und elemnt von

K ...

.

Aber den Beweis versteh ich selbst nicht

: (

hagman aktiv_icon

10:57 Uhr, 17.01.2011

+

ist ohnehin kommutativ.

Sei

a \in K

.
Die Abbildung

μ_{a} : K \to K, x \mapsto a \cdot x

ist entweder bijektiv oder nicht.
Wenn bijektiv, dann gibt es insbesondere ein

x

mit

x \mapsto 1,

also ein Inverses von

a

.
Wenn nich bijektiv, etwa

μ_{a} (x_{1}) = μ_{a} (x_{2})

mit

x_{1} \neq x_{2},

dann

a \cdot (x_{1} - x_{2}) = a \cdot x_{1} - a \cdot x_{2} = 0,

wegen

x_{1} \neq x_{2}

also

a = 0

.

Damit wäre

K

immerhin schno einmal ein Schiefkörper

epsilon90 aktiv_icon

11:08 Uhr, 17.01.2011

aber die kommutativität von

\cdot

kann man aus der angabe nicht beweisen oder?
und

1 \in R

müsste auch mit in die angabe

hagman aktiv_icon

12:18 Uhr, 17.01.2011

Oh ja, richtig.

1 \in ℝ

hatte ich versehentlcih vorausgesetzt, kann man aber beweisen
Betrachte

a \in R \ {0}

.
Die unendlich vielen Elemente

a^{1}, a^{2}, a^{3}, . .

. können nicht alle verschieden sein

(a^{0} = 1

darf ich ja leider noch nicht verwenden), also gibt es

n, k

mit

1 \leq k < n

und

a^{k} = a^{n}

.
Setze

e := a^{n - k}

(beachte

n > k,

die Potenz kann also gebildet werden).
Dann sthet

e

unter dem dringenden Verdacht, eine 1 zu sein.
In der Tat: Für

b \in R

folgt

a^{k} \cdot (e \cdot b - b) = (a^{k} \cdot e - a^{k}) \cdot b = (a^{n} - a^{k}) \cdot b = 0 \cdot b = 0

.
Da

a^{k} \neq 0

und

R

neultteilerfrei, folgt

e \cdot b - b = 0,

also

e \cdot b = b

.
(Bei Bedarf ebenso

b \cdot e = b)

epsilon90 aktiv_icon

19:08 Uhr, 17.01.2011

danke

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