Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » numerisches Lösen von Differential-Gleichungen

numerisches Lösen von Differential-Gleichungen

Universität / Fachhochschule

Tags: Differentialgleichungen, Elektro, Elektronik, euler, numerisch

anonymous

21:41 Uhr, 22.07.2015

Hallo Leute! :-)

Ich möchte folgende Schaltung mit Excel berechnen. Es soll der zeitliche Verlauf von Spannungen über den beiden Kondensatoren berechnet werden. (Excel wird dazu später genutzt)

Da muss ich wohl Differenzialgleichungen lösen. Ich habe herausbekommen, dass man dies mit den numerischen Verfahren lösen kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

22:04 Uhr, 22.07.2015

Naja, mit Differentialgleichung liegst du grundsätzlich richtig.
Aber ich sehe keinen Schalter - interessiert nur der eingeschwungene Zustand, also die stationäre Lösung der DGL, oder ist doch der Einschaltvorgang zu untersuchen?
Ich vermisse auch eine Spannungs- oder eine Stromquelle. Was hängt denn da links daran - eine Stromquelle?

Obwohl ich schon das eine oder andere Mal gesehen habe, dass DGLen mit Excel numerisch gelöst wurden (eigentlich ja Differenzengleichungen), so denke ich, dass Excel dafür ein denkbar schlechtes Tool ist. Ich habs selbst auch noch nie in Excel gemacht.
Steht euch nichts anderes zur Verfügung? Matlab, Mathcad oder auch Maple oder Mathematica? Vielleicht möchtest du das Ganze auch nur - etwa in LTSpice - simulieren.

Im Grunde weiß ich eigentlich nicht, was genau deine Frage ist!

R

anonymous

22:29 Uhr, 22.07.2015

Danke erstmal für die schnelle Antwort.

Am Eingang soll eine Stromquelle sein und das ganze muss ich in Excel machen

\frac{:}{}

.

Es Soll der Zeitliche Verlauf der Spannungen über den Kondensatoren

C 1

und

C 2

in einem Diagramm (Excel) gezeigt werden.
Somit der eingeschwungene Zustand der DGL soll gezeigt werden.

anonymous

00:05 Uhr, 23.07.2015

Mein derzeitiger Lösungsansatz:

Jedem Kondensator in der Schaltung wird eine Zustandsvariable zugeordnet.

Um für jede Zustands-Variable genau eine DGL 1. Ordnung zu gewinnen, die keine weitere Ableitung nach der Zeit enthält, kann der Knotensatz angewendet werden.

K 1 : (

DGL für

u 1)

I_0

= C 1 \cdot

du1/dt

+ \frac{u_{1} - u_{2}}{R_{1}}

K 2 : (

DGL für

u 2)

\frac{u_{1} - u_{2}}{R_{1}} = C_{2} \cdot

du_2/dt

+ \frac{u_{2} - u_{3}}{R_{2}}

2:Schritt: Umstellen DG1 nach du1/dt und DG2 nach du2/dt ??

Würde gern das Numerische Integration einer Differentialgleichung von Euler anwenden um die

X

und

Y

Koordinaten für

U_{1}

und

U_{2}

zu bilden.

y' = f (x; y)

DerDepp aktiv_icon

01:29 Uhr, 23.07.2015

Hossa :-)

Die erste DGL kriege ich auch raus:

I = I_{C 1} + I_{R 1} = {\dot{Q}}_{C 1} + \frac{U_{R 1}}{R_{1}}; Q_{C 1} = C_{1} \cdot U_{1}; U_{1} = U_{R 1} + U_{2}

\Rightarrow I = C_{1} \cdot {\dot{U}}_{1} + \frac{U_{1} - U_{2}}{R_{1}} \Rightarrow {\dot{U}}_{1} = \frac{1}{C_{1}} (I - \frac{U_{1} - U_{2}}{R_{1}})

Für die zweite DGL erhalte ich aber was anderes:

I_{R 1} = I_{C 2} + I_{R 2} = {\dot{Q}}_{C 2} + \frac{U_{R 2}}{R_{2}}; I_{R 1} = \frac{U_{R 1}}{R_{1}} = \frac{U_{1} - U_{2}}{R_{1}}; Q_{C 2} = C_{2} \cdot U_{2}; U_{R 2} = U_{2}

\Rightarrow \frac{U_{1} - U_{2}}{R_{1}} = C_{2} \cdot {\dot{U}}_{2} + \frac{U_{2}}{R_{2}} \Rightarrow {\dot{U}}_{2} = - \frac{1}{C_{2}} (\frac{U_{2}}{R_{2}} - \frac{U_{1} - U_{2}}{R_{1}})

Hierfür bietet sich zur Lösung das symplektische Euler-Verfahren an. Dabei wird zunächst auf Basis der alten Werte für

U_{1}

und

U_{2}

das neue

U_{1}

berechnet. Dieses neue

U_{1}

und das alte

U_{2}

werden dann zur Berechnung des neuen

U_{2}

verwendet.

Roman-22

02:01 Uhr, 23.07.2015

Was macht das

u_{3}

hier? Das sollte doch Null sein. Schließlich ist der Spannungsabfall an

R_{2}

gleich der Spannung an

C_{2}

.
Und I_0 ist der eingeprägte Strom I aus der Zeichnung. Soll I_0 konstant sein oder ein variabler

i_{0} (t)

>

2:Schritt: Umstellen DG1 nach du1/dt und DG2 nach du2/dt ??
Ja, genau.

Euler ist zwar nicht berühmt für besondere Genauigkeit und Schrittweitenverringerung ändert daran nur sehr langsam etwas, ist aber vermutlich einfacher in Excel (und auch ohne VBA Programm) zu implementieren als etwa RK.
Hast du spezielle Anfangswerte?

Vielleicht hilft dir das ein wenig:
http//www.krucker.ch/skripten-uebungen/IAMSkript/IAMKap8.pdf

R

anonymous

12:02 Uhr, 24.07.2015

Danke euch allen :-)

1)

Ich habe mich etwas nun mit dem Skript beschäftigt, das hat mir viel gebracht.
Nun stelle ich mir die Frage, wie ich die Schrittweite in die Formel einsetze?

2)

Außerdem werden Uc1 und Uc2 gleichzeitig stätig geladen.Kann man das überhaupt durch zwei verschiedene Diagramme für jeweiliges

C

Zeigen?
Ich meine, muss man da nicht irgendwelche Verknüpfungen zwischen den Kondensatoren machen?

L . G

ledum aktiv_icon

12:35 Uhr, 24.07.2015

Hallo
du gibst

t

in Schritten von

Δ t

ein, die Schrittweite kannst du in Exel

j

dann leicht arnder.
du rechnest

U 1

und

U 2

immer abwechselnd aus, aber natuerlich kannst du die 3 dann einzeln plotten.
Gruss ledum

anonymous

17:55 Uhr, 24.07.2015

Derzeitige Zusammenfassung:
Ist das Korrekt?
Knoten 1:

i_{0} (t) = i_{1} (t) + i_{2} (t)

i_{0} (t) = C_{1} \cdot \frac{d_{u} (t)}{d_{t}} + \frac{U_{1} - U_{2}}{R_{1}}

Umgestellet nacht :

\frac{d_{u} (t)}{d_{t}}

\frac{d_{u} (t)}{d_{t}} = \frac{i_{0} (t)}{C_{1}} - \frac{U_{1} - U_{2}}{R_{1} \cdot C_{1}}

mit Tau->

T = R \cdot C_{_}__{_}

(Tau wird ausgeklammert)

\frac{d_{u} (t)}{d_{t}} = \frac{1}{T} \cdot ((R_{1} \cdot i_{o} (t) - U_{1} - U_{2}))

Ergebns für ersten Spannungverlauf nach Zeit über

C 1

mit h=Schrittweite und

x =

Index:
UC_1(0*h)= Anfangswert
UC_1(1*h)=UC_1(0*h)-h*1/T*UC_1(0*h)

FÜr Knoten zwei bekomme ich folgende Lösung:

\frac{d_{u} (t)}{d_{t}} = \frac{1}{T} \cdot ((U_{1} - 2 \cdot U_{2}))

Wie soll ich ich nun die DGL aus zweiten Knoten mit ersten verbinden?

L . G

. :-)

ledum aktiv_icon

18:23 Uhr, 24.07.2015

Hallo
deine Dgl fuer

U 2

scheint falsch wo bleibt

R 2

wenn du die richtige hast genau wie

u 1

loesen und dann mit den 2 neuen anfangswerten weiter.
Gruss ledum

Roman-22

18:37 Uhr, 24.07.2015

>

deine Dgl fuer

U 2

scheint falsch wo bleibt

R 2

Wenn das nur alles wäre!
Bei der ersten DGL hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen und die Bezeichnungen sind überhaupt nur mehr chaotisch.
Dein

τ,

für das du

T

schreibst, soll erst

R_{1} \cdot C_{1}

sein und in der zweiten DGL etwas anderes?? Und was soll es für einen Vorteil haben, jetzt Zeitkonstanten

τ_{1} := R_{1} \cdot C_{1}

und

τ_{2} := R_{2} \cdot C_{2}

einzuführen?

R_{1}

und

C_{2}

bleiben dir ja trotzdem noch einzeln übrig. Also hast du wieder vier Parameter.
Deine Kondensatorspannungen tragen je nach Laune die Bezeichnungen

U_{1}, U_{2}

(warum Großbuchstaben, das sind doch zeitlich veränderliche Größen), dann wieder UC_1(..) und schließlich beim Diffentialquotienten nur

u (t),

egal ob es sich um den Spannungsverlauf beim ersten oder auch beim zweiten Kondensator handelt! So kann das doch nix werden.

Die beiden DGLen bilden doch ein Gleichungssystem, sind also dadurch automatisch schon "verbunden". Und wie du die beiden DGLen beim numerischen Lösen "verbinden" sollst, hat dir DerDepp schon vor langer Zeit geschrieben.

R

anonymous

01:03 Uhr, 27.07.2015

Hallo Leute :-)

Ich stehe immer noch bei demselben Problem. Die Aufstellung der DGL habe ich ja begriffen.
Bei der Umsetzung mit Excel habe ich etwas Schwierigkeiten.
Ich weiß nicht, wie ich die Schrittweite und den dazugehörigen laufenden Index in dieser mir etwas komplexe DGL einfüge.
Kann mir bitte das einer zeigen?

Es worden folgende zwei DGLs aus der Schaltung ermittelt:

DGL1:

\frac{u_{c} 1 (t)}{d t} = \frac{1}{C_{1}} \cdot (i_{0} (t)

−

\frac{u_{c} 1 (t) - u_{c} 2 (t)}{R_{1}})

DGL2:

\frac{u_{c} 2 (t)}{d t} = - \frac{1}{C_{2}} \cdot (\frac{u_{c} 2 (t)}{R_{2}} - \frac{u_{c} 1 (t) - u_{c} 2 (t)}{R_{1}})

Laut DerDepp sind die DGL1 und DGL2 folgend Zeitlich miteinander verknüpft:

\to

(Lösung mit symplektische Euler-Verfahren)

Bei gegebenen Anfangswerten Werten für :

u_{c} 1.0 (t), u_{c} 2.0 (t)

1.Schritt:
berechne ich nun neuen

u_{c} 1

u_{c} 1.1 (t)

mit Einsetzen von

u_{c} 1.0 (t)

und

u_{c} 2.0 (t)

2. Schritt:
danach berechne ich neuen

u_{c} 2 :

u_{c} 2.1 (t)

mit Einsetzen von

u_{c} 1.1 (t)

und

u_{c} 2.0 (t)

.

3.Schritt:
nun wird wieder neuer Wert für neuen

u_{c} 1 :

u_{c} 1.2 (t)

mit Einsetzen von

u_{c} 1.1 (t)

und

u_{c} 2.1 (t)

.

Ich hoffe das es so richtig ist.:/

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

Mein Ansatz für die Berechnung:

\to

(Lösung mit symplektische Euler-Verfahren)

Um den Zeitlichen Verlauf von DGL1 und DGL2 in eine Tabelle zu zeigen,soll die Schrittweiten und dazugehöriger Indexwert in die DGL1 und DGL2 eingesetzt werden, um daraus jeweils neuer Werte für

U_{C} 1

und

U_{C} 2

zu bekommen (siehe obere Schritte

1 - 3) :

Index:..............

x = 0,1,2,3 . .

.
Schrittweite

: ...

h = 0,001

(kann man selbst bestimmen/ ist damit vorgegeben)

a_{0} =

Anfangswert für Zeit

d x = a_{0} + x \cdot h

Mit vorgegebennen

u_{c} 1.0 (t)

und

u_{c} 2.0 (t), h

und bzw.

d x :

1.Schritt:

U_{c} 1.1 (t) = U_{c} 1.0 (t) + \frac{1}{C_{1}} \cdot (i_{0} (t)

−

\frac{u_{c} 1.0 (t) - u_{c} 2.0 (t)}{R_{1}}) \cdot d x

2.Schritt:

U_{c} 2.1 (t) = - \frac{1}{C_{2}} \cdot (\frac{u_{c} 2.0 (t)}{R_{2}} - \frac{u_{c} 1.1 (t) - u_{c} 2.0 (t)}{R_{1}}) \cdot d x

3.Schritt:

U_{c} 1.1 (t) = U_{c} 1.0 (t) + \frac{1}{C_{1}} \cdot (i_{0} (t)

−

\frac{u_{c} 1.0 (t) - u_{c} 2.1 (t)}{R_{1}}) \cdot d x

ist das korrekt?

\frac{:}{}

Danke im Voraus

Roman-22

19:43 Uhr, 27.07.2015

>

dx=a0+x⋅h

Nein. Nennen wir die Indizes doch lieber

i = 0,1,2,3, ... . 5000

dann ist

d t = h

und

t = a_{0} + i \cdot h

R

1247795

1247317

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?