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obere schranke, untere schranke usw...
Universität / Fachhochschule
Sonstiges
Tags: schranken
 
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anonymous 15:44 Uhr, 19.01.2008  |
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Hey! Ich hab bei meiner letzten Vorlesung gefehlt und hab grad total den Faden verloren :( Und zwar sollen wir eine abzählbare Menge suchen mit inf M = min M = -3 und sup M = 0. Und max M soll nicht existieren. Ich hab nachgelesen, dass das alles so untere und obere Schranken sind, aber was genau meint man denn damit? So spontan würd ich sagen, das ist die Menge {-1,-2}, aber das ist jetzt mehr oder wneiger geraten... Und die andere Teilaufgabe ist: Gesucht sind inf M, min M, Max M von der Menge M der Glieder der Folge (an)nEN mit an: = 4/(n²+3) mit Begründung. Und ich weiß überhaupt nciht, wie ich da anfangen soll Ganz lieben Dank schonmal. lg |
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Hallo ptit-soleil, zunächst einmal eine mögliche Lösung der Aufgabe: Wähle M = {- 3/n | n natürliche Zahl}. M ist abzählbar, da es eine surjektive Abbildung Z : N ---> M von der Menge der natürlichen Zahlen in die Menge M gibt. U = -3 ist untere Schranke von M, da für alle Elemente m aus M gilt: m größer oder gleich -3. U = -3 ist Infimum von M, da -3 die größte untere Schranke von M ist. U = -3 ist das Minimum von M, da -3 ein Element von M ist. O = 0 ist obere Schranke von M, da alle Elemente von M negativ sind. O = 0 ist Supremum von M, da jede Zahl kleiner 0 keine obere Schranke von M ist. O ist nicht Maximum von M, da 0 nicht zu M gehört. M besitzt kein Maximum, da zu jedem m = - 3/n ein m' = - 3/n' existiert mit m' größer m (nämlich für n' größer n). Gruß Rentnerin |
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anonymous 09:37 Uhr, 20.01.2008 |
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Oh, DANKE Rentnerin, das hat mit schon ganz doll geholfen :) Ich hab das jetzt mal für die Menge M der Glieder der Folge an, nENN mit an:= 4/(n²+3) versucht. O=1 die obere Schranke ist 1, da alle Elemente von M 1 keine obere Schranke von M ist U=0 ist Infimum, da 0 die größte untere Schranke ist. U=0 die untere Schranke von M ist 0, da für alle Elemante aus M gilt m>0 Wär lieb, wenn du gucken könntest ob das stimmt. Gaanz lieben Dank! |
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anonymous 09:46 Uhr, 20.01.2008 |
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Und gleich für noch eine Aufgabe: M:= {1/(x²+2); x E R} U= 0 0 ist untere Schranke, da alle m > 0 U=0 0 ist Infimum, da 0 die größte untere Schranke O=1/2 1/2 ist obere Schranke, da für alle Elemente aus M gilt m 1/2 keine obere Schranke von M ist Im Moment ist es aber so, dass ich für untere Schranke und Infimum bzw. für obere Schranke und Supremum immer das selbe angeben würde. Was ist da genau der Unterschied? DANKE! |
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O = 1 ist nicht die obere Schranke, sondern eine obere Schranke. Wenn M eine obere Schranke O hat, dann hat M unendlich viele obere Schranken, da jede Zahl größer O ebenfalls obere Schranke ist. O = 1 = a_1 ist sogar die kleinste obere Schranke und gehört der Menge M an. Jedes andere a_n hat einen größeren Nenner als 4 und ist damit kleiner als 1. Damit ist O = 1 das Supremum von M. U = 0 ist sicher eine untere Schranke von M, da alle Elemente von M positiv sind. Weitere untere Schranken von M wären z.B. alle negativen Zahlen. U = 0 ist sogar die größte untere Schranke von M, da sich für jede positive Zahl U' ein n' finden lässt, dass a_n' kleiner U' gilt. Du musst nur die Ungleichung 4/(n'^2 + 3) kleiner U' nach n' auflösen (also n' größer sqrt(4/U' - 3)). Damit ist U = 0 Infimum von M. Gruß Rentnerin |
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Vielleicht hast Du inzwischen aus meinen Ausführungen entnehmen können, dass das Supremum die kleinste obere Schranke (unter unendlich vielen oberen Schranken) und das Infimum die größte untere Schranke ist. Eine nicht leere Menge M ist nach oben beschränkt, wenn es eine (und damit unendlich viele) obere Schranke gibt. Wenn es eine solche gibt, dann gibt es darunter auch eine kleinste. Diese wird Supremum genannt. Das Supremum kann ein Element der Menge M sein, muss es aber nicht. Betrachte M = {1 + 1/x | x positive reelle Zahl}. M ist nach oben nicht beschränkt, da es für jede vermeintliche obere Schranke O_v (vermeintlich!) ein x aus M gibt mit 1/x größer O_v. Damit gibt es auch kein Supremum von M. U' = 0 ist untere Schranke von M, da M nur positive Zahlen enthält. Aber U' ist nicht die größte untere Schranke. Die Zahlen 1/2, 2/3, oder 0,9 sind ebenfalls untere Schranken. Die größte untere Schranke (und damit das Infimum von M) ist U = 1. Sie gehört nicht zu M. Und nun zu Deiner Menge M mit 1/(x^2 + 2). Jede negative Zahl und auch die Null sind untere Schranken. Richtig ist auch, dass 0 die größte untere Schranke und damit das Infimum ist. 1/2 gehört zu M und ist (kleinste) obere Schranke, also Supremum von M. Es macht allerdings schon einen Unterschied, ob Du nur intuitiv gefundene (kleinste / größte) Schranken angeben musst, oder diese Eigenschaft auch nachweisen sollst. |
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anonymous 10:23 Uhr, 20.01.2008 |
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Also ich soll bei der ertsen teilaufgabe 4/(n²+3] mit Begründung antworten. Aber reichen diese kurzen Sätze nciht als Begründung aus? Ich habs aber verstanden jetzt, glaub ich :) |
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anonymous 10:28 Uhr, 20.01.2008 |
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Vielleicht kannst du mir zufällig noch bei anderen Aufgabe helfen: Seien a,b,c,d ER mit a<b und c<d. Beweisen oder widerlegen Sie: Die Intervalle [a,b] und [c,d] sind gleichmächtig. Geben Sie wenn möglich eine Bijektion [a,b] -> [c,d] konkret an. Also erstmal verstehe ich nciht so ganz, wie man die Gleichmächtigkeit beweisen soll, wenn man a,b usw. nciht kennt. Das heißt doch eigentlich, dass man jedem Element aus [a,b] eines aus [c,d] zuordnen kann, oder? Also wäre das ja auch der Bijektivitätsbeweis und wie soll man dann eine konkrete Bijektion finden? :( Danke!! |
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Intervalle (auch unterschiedlicher Länge) sind gleichmächtig. Eine Bijektion ist hier eine Abbildung zwischen Teilmengen der reellen Zahlen, also eine Funktion. Wenn Du sie konkret angeben sollst, geht das fast ausschließlich mit Hilfe von Termen. Unter den vielen Lösungen solltest Du Dir immer möglichst einfache aussuchen. Die einfachsten Terme sind konstante Terme (die funktionieren hier nicht, da das Bild eines konstanten Terms nur ein einziges Element ist) und lineare Terme. Ist also f : [a,b] ---> [c,d] eine Funktion mit f(x) = m * x + t, dann sollte f(a) = c und f(b) = d gelten; dies ist erfüllt für m = (d-c)/(b-a) und t = c - (d-c)/(b-a) * a. f : [a,b] ---> [c,d], f(x) = (d-c)/(b-a) * x + c - (d-c)/(b-a) * a bildet das Intervall [a,b] bijektiv auf das Intervall [c,d] ab. f ist als lineare Funktion injektiv und aus dem Zwischenwertsatz folgt, dass f auch surjektiv ist. Gruß Rentnerin |
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anonymous 11:25 Uhr, 20.01.2008 |
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Hmm, und wie beweise ich die Gleichmächtigkeit? Ich kann ja nciht schrieben, Intervalle sind immer gleichmächtig. DANKE! |
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Aber hallo! Zwei Mengen sind nach Definition gleichmächtig, wenn es zwischen ihnen eine Bijektion gibt. Diese habe ich doch gerade konkret angegeben. |
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anonymous 15:55 Uhr, 20.01.2008 |
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ohje, dann hab ich wieder irgendwas missverstanden... Also der Beweis der Gleichmächtigkeit ist das Selbe wie der Beweis der Bijektivität?! Ganz lieben Dank, ich muss mir alles noch mal in Ruhe durchsehen... lg |
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Richtig! Deine Aufgabe lautete: Beweisen oder widerlegen Sie: Die Intervalle [a,b] und [c,d] sind gleichmächtig. Geben Sie wenn möglich eine Bijektion [a,b] -> [c,d] konkret an. Wenn Du es widerlegen könntest, müsstest Du nachweisen, dass es keine Bijektion zwischen den Intervallen geben kann. Wenn Du glaubst, es beweisen zu können, musst Du eine konkrete Bijektion angeben. Gruß Rentnerin |
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