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offene Mengen - Durchschnitt

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Jennifer87 aktiv_icon

08:33 Uhr, 10.05.2011

Hi,

Ich habe den Satz zu beweisen: " Der Durchschnitt endlich vieler offenen Mengen ist offen"

Also erst mal zu meinem Beweis:G_k mit

k = 1, ... n

seien endlich viele offene Mengen und

x \in D := ⋂_{k = 1}^{n} G_{k},

dann gibt es Zahlen

ε_{k} > 0,

so dass

U_{ε_{k}} (x) (

Epsilon-Umgebung zu

x) \subset G_{k}

für alle

k = 1, ..., n

gilt. Wähle nun

ε := min {ε_{k}

mit

k = 1, ..., n},

dann ist also

U_{ε_{k}} (x) \subset G_{k}

für

\forall k

also auch

U_{ε_{k}} \subset D \Rightarrow D

offen

nun zu meinen Fragen : stimmt der Beweis?? und warum gilt das nur für endlich viele mengen???

lg Jenny

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

09:29 Uhr, 10.05.2011

Hi Jenny,

der Beweis ist richtig, wenn der Durchschnitt deiner Mengen nicht leer ist. Was gilt für den Fall, dass der Durchschnitt leer ist?

Der "Trick" in deinem Beweis ist, dass du ein

ɛ = min (ɛ_{1}, . . ., ɛ_{n})

wählen kannst, da eine endliche Teilmenge von

ℝ

immer ein Minimum besitzt. Als Gegenbeispiel schau dir die Mengen

G_{n} = (- \frac{1}{n}, \frac{1}{n}), n \in I = ℕ

an. Ich kann nun in jedem

G_{n}

eine Epsilon-Umgebung von 0 wählen, z.B. mit

ɛ_{n} = \frac{1}{n} > 0

, dann ist

U_{ɛ_{n}} (0) = G_{n}

.

Jedoch besitzt die Menge

{\frac{1}{n} : n \in I}

kein Minimum, da

\frac{1}{n}

eine Nullfolge ist, sondern nur ein Infimum

inf ({\frac{1}{n} : n \in I}) = 0

, welches jedoch nicht zur Menge dazugehört (und somit kein Minimum ist). Dieses Infimum kann ich selbstverständlich nicht als globales

ɛ

wählen, da

ɛ > 0

gelten muss.

Und in der Tat ist (was zu beweisen wäre)

⋂_{n \in I} G_{n} = {0}

was eine abgeschlossene Menge ist.

Das muss selbstverständlich nicht immer so sein. Es gibt auch ein System von unendlich vielen offenen Mengen, deren Durchschnitt nicht leer und wieder offen ist. Wichtig ist dabei, ob die Menge der Epsilone ein Minimum (wie in deinem Beweis), oder "nur" ein Infimum besitzt.

Lieben Gruß
Sina

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