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offene Überdeckung ohne endliche Teilüberdeckung

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: Teilüberdeckungen, Überdeckungen

lisakat aktiv_icon

18:33 Uhr, 19.11.2008

Hallo,
habe gerad die Aufgabe offene Überdeckungen, die keine endliche Teilüberdeckung hat zu bestimmen für verschiedene Intervalle. Verstehe zwar, was ne Überdeckung und eine Teilüberdeckung ist, komme aber nicht weiter. Muss ich veilleicht mit offenen Mengen arbeiten?!? Wäre froh, wenn mir wer helfen kann, oder eins als Beispiel vorrechnen...
Die Intervalle sind

a)] 0,1 [

[

0,unendlich[

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Rentnerin

21:36 Uhr, 19.11.2008

Hallo lisakat,

betrachte für die Menge

M =] 0, 1 [

die Familie

U_{i}, i \geq 3

offener Mengen mit

U_{i} =] \frac{1}{i}, 1 - \frac{1}{i} [

. Dann ist offenbar

M = \underset{i \geq 3}{\cup} U_{i}

und somit liegt eine offene Überdeckung von

M

vor.

Gäbe es eine endliche Teilüberdeckung

U_{i_{1}} \cup . . . \cup U_{i_{k}}

mit

i_{1} < . . . < i_{k}

, dann wäre jedes Element von

M

in der endlichen Vereinigung enthalten. Aber

\frac{1}{2 \cdot i_{k}}

liegt nicht in der Vereinigung.

Gruß Rentnerin

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