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offene und oder abgeschlossene Menge in R2

Universität / Fachhochschule

Mengentheoretische Topologie

Tags: abgeschlossene Mengen, Mengentheoretische Topologie, Offen, offene menge

anonymous

14:56 Uhr, 01.05.2020

Hallo
ich soll entscheiden, ob

A = {(x, y) \in R^{2} | x \cdot y = 0} \in R^{2}

mit

d (x, y) = | | x - y | | 2

(also die p-Norm mit

p = 2)

offen und oder abgeschlossen ist.

Mein Ansatz soweit wäre:
wir suchen ein

ε > 0

sodass

U ε ((x, y)) = {a \in R^{2} | d ((x, y), a) < ε}

wobei

a = (a 1, a 2) \in R^{2}

ich komme auf diese Umwandlung

\sqrt{{| x |}^{2} + {| y |}^{2}} - \sqrt{{| a 1 |}^{2} + {| a 2 |}^{2}} < ε

Falls das so richtig ist könnte man ja hier annehmen dass

x = 0

ist aber weiter komme ich nicht.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ermanus aktiv_icon

15:05 Uhr, 01.05.2020

Hallo,

bevor du herumepsilonst, erst einmal die Frage:
Willst du beweisen, dass die Menge abgeschlossen oder dass
sie offen oder dass sie weder offen noch abgeschlossen ist?

Gruß ermanus

anonymous

15:09 Uhr, 01.05.2020

Ich soll entscheiden ob sie abgeschossen, offen, beides oder weder noch ist. Ich hatte begonnen mit dem Versuch zu zeigen ob sie vielleicht offen ist.

ermanus aktiv_icon

15:12 Uhr, 01.05.2020

Wie sieht die Menge denn aus?

anonymous

15:15 Uhr, 01.05.2020

A = {(x, y) \in R^{2} | x \cdot y = 0}

das bedeutet doch einfach nur die beiden Achsen in

R^{2}

(und das halt bezüglich der 2-Norm)

ermanus aktiv_icon

15:29 Uhr, 01.05.2020

Hast du schon mal versucht, z.B. in der

x

-Achse
eine kreisförmige Umgebung eines ihrer Punkte unterzubringen?
Kann man das überhaupot bei Geraden? Sind die nicht ein bisschen
zu "dünn"?

anonymous

15:37 Uhr, 01.05.2020

Ja das wäre nicht möglich, somit könnte die Menge schonmal nicht offen sein.
Könnte man dort einfach ein Gegenbeispiel nehmen? Zum Beispiel

(3,0)

und egal wie klein man es wählt,

(3,0) + (a 1, a 2)

(mit

a 1, a 2

ungleich

0),

so würde die Summe nicht mehr in A liegen?

Intuitiv würde ich aber sagen, dass sie abgeschlossen ist. Nimmt man nämlich das Komplement von A (also

R^{2}

ohne

A)

so kann man einfach ein

ε

wählen, dass kleiner ist als der Abstand zu den Achsen, oder?

ermanus aktiv_icon

15:43 Uhr, 01.05.2020

Ah! Du siehst ganz richtig, dass man sich um das Komplement kümmern muss.
Und es ist vollkommen richtig, dass zu einem Punkt

(x_{0}, y_{0})

des
Komplementes mit

ε = min (∣ x_{0} ∣, ∣ y_{0} ∣)

alles glatt geht.
Das Komplement ist also offen und damit die Menge abgeschlossen.

Gruß ermanus

anonymous

15:44 Uhr, 01.05.2020

Gut, vielen Dank für die Hilfe!

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