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orthogonale Matrix, geometrisch

Universität / Fachhochschule

Tags: Geometrisch, Lineare Algebra, orthogonale Matrix(2x2)

anonymous

14:01 Uhr, 27.12.2009

Hallo,

hier habe ich Probleme und komme nicht richtig weiter.

1 .)

Zeigen Sie, dass für jede orthogonale Matrix

M

Element

ℝ^{2 x 2}

ein

ω

Element

ℝ

existiert, sodass

M

die folgende Form hat:

M = (\begin{matrix} cos (ω) & - sin (ω) \\ sin (ω) & cos (ω) \end{matrix})

oder

M = (\begin{matrix} cos (ω) & sin (ω) \\ sin (ω) & - cos (ω) \end{matrix})

2 .)

Wie wirkt (geometrisch gesehen) die Matrix

M

auf einen Vektor in

ℝ^{2}

?

Wäre für Hilfe dankbar!

Lg

anonymous

22:29 Uhr, 28.12.2009

ich habe die Aufgabe auch hier, hat denn keiner eine idee???

arrow30

23:07 Uhr, 28.12.2009

wie wäre es wenn du

M \cdot M^{T}

berechnest !

anonymous

10:49 Uhr, 29.12.2009

wenn da

E 2

rauskommt, habe ich bewiesen, dass sie orthogonal sind, reicht das aus für b???

pakaKoni aktiv_icon

11:57 Uhr, 29.12.2009

Hallo

Ich würde erst mal

M M^{T}

und

M^{T} M

ausrechnen. Es muss ja immer die Identität rauskommen.
Da müsste sich mit den Additionstheoremen was machen lassen.
Die Enträge setzt du dazu erst mal

s, b, c, d \in ℝ

Du erhälst dann:

1 = a^{2} + b^{2} = c^{2} + d^{2}

und

0 = a c - b d

also

a c = b d

Für die 2 solltest du mal überlegen, mit welcher Matrix du von der Linken auf die Rechte Matrix kommst.
Dann hast du beide Arten der Bewegung.

Chaio

anonymous

12:07 Uhr, 29.12.2009

wie kommst du auf ac-bd? Ich komme auf ac+bd.

michaL aktiv_icon

12:29 Uhr, 29.12.2009

Hallo Katharina,

was weißt du denn über orthogonale Matrizen?

Darfst du verwenden, dass sowohl die Zeilen als auch die Spalten als Vektoren betrachtet Einheitsvektoren sind, d.h. die Länge 1 haben? Wenn nicht, kann man das natürlich aus eurer Definition sicher beweisen.
Das Problem ist eben herauszufinden, was ihr als Definition und Sätze zu dem Thema habt.
Ich kenne orthogonale Matrizen so, wie sie unter
http://de.wikipedia.org/wiki/Orthogonale_Matrix#Definierende_Eigenschaften als erstes stehen: Die Zeilen (bzw. die Spalten) bilden eine Orthonormalbasis.

Gehen wir speziell auf eine 2x2-Matrix

M :=

a b

c d

ein, so folgen aus orthogonale Matrix:

I:

a^{2} + b^{2} = 1

II:

a^{2} + c^{2} = 1

III:

b^{2} + d^{2} = 1

IV:

c^{2} + d^{2} = 1

(orthoNORMALITÄTS-Eigenschaft, Längen der Zeilen- bzw. Spaltenvektoren gleich 1)

V:

a b + c d = 0

VI:

a c + b d = 0

(orthoGONALITÄTS-Eigenschaft, Vektoren stehen senkrecht aufeinander)

Aus I und II folgt z.b., dass

b^{2} = c^{2}

gilt. Aus I und III etwa

a^{2} = d^{2}

.

So, da nun der Vektor

(a; b)

ein Einheitsvektor ist, kann man ihn als

(\cos (ω); \sin (ω))

darstellen mit einem geeignetem

ω

(dafür siehe etwa Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis bzw. Polarkoordinaten)

Wegen

a^{2} b^{2} = c^{2} d^{2}

und

a^{2} = d^{2}

b^{2} = c^{2}

gilt also

d = \pm a = \pm \cos (ω)

.
Falls

d = a

, so muss also

c = - b

gelten und

M

hat die Form

\cos (ω) - \sin (ω)

\sin (ω) \cos (ω)

Falls

d = - a

, so muss also

c = b

gelten und

M

hat die Form

\cos (ω) \sin (ω)

\sin (ω) - \cos (ω)

Matrizen der ersten Form ergeben Drehungen um den Ursprung, Drehwinkel

ω

. Matrizen der zweiten Form ergeben Drehspiegelungen.

Mfg Michael

anonymous

12:41 Uhr, 29.12.2009

das mit den einheitsvektoren hatten wir noch nicht, aber man kommt auf die selben gleichungen mit

M^{T} \cdot M = E_{2}

und

M \cdot M^{T} = E_{2},

das ist auch klar wie man auf die Gleichungen kommt, aber das danach verstehe ich noch nicht so ganz

pakaKoni aktiv_icon

14:18 Uhr, 29.12.2009

Sorry

Ich hab das Vorzeichen von -sin mit verwurstet.
Du hast natürlich recht, es muss ac +bd heißen.

LG

anonymous

19:00 Uhr, 29.12.2009

1 .)

habe ich soweit. Aber wie sieht es mit

2 .)

aus?? Wie kann ich das mit Spiegelung und Drehung mathematisch begründen? Orthogonalmatrizen hatten wir noch gar nicht in der Vorlesung. Hab das jetzt das erste Mal in dieser Aufgabe gesehen. Determinaten oder ähnliches ist auch nicht bekannt. Hilfe wäre super :-) lg

pakaKoni aktiv_icon

19:42 Uhr, 29.12.2009

Das kommt darauf an, wie und ob ihr Drehung und Spiegelung definiert habt.
An sonsten kannst du bemerken, dass die Abbildung die Norm gleich lässt.

anonymous

18:34 Uhr, 03.01.2010

Wir hatten Spiegelung und Drehung gar nicht definiert, weil wir dazu noch nichts in der Vorlesung hatten, desshalb weiß ich auch nicht, wie ich das mit meinem Wissen begründen soll. Hat jemand eine "einfache" Begründungsidee? Was meinst Du mit "dass die Abbildung die Norm gleich lässt"? Ich komm gar nicht weiter

: (

anonymous

20:19 Uhr, 03.01.2010

Hat sich erledigt, werd mir ein paar Gedanken machen. Danke für die Hilfe soweit :-)

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