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orthogonale Transformation, orthogonale Matrix

Universität / Fachhochschule

Tags: orthogonale Matrix, Orthogonale Transformation

Sonusfaber aktiv_icon

10:51 Uhr, 10.11.2019

Hallo

Bei einer Aufgabe muss ich zeigen, dass eine Matrix

S \in M (2 x 2, R)

eine orthogonale Transformation ist.

Daher habe ich gezeigt, dass

< S \vec{x}, S \vec{y} > = < \vec{x}, \vec{y} >

für alle

\vec{x}, \vec{y} \in R^{2}

gilt.

Im Lösungsteil zeigt man hingegen, dass S orthogonal ist bzw. dass

S S^{T} = E_{2}

gilt.

Nun bin ich verwirrt, denn bis auf den gemeinsamen Begriff "orthogonal" sehe ich keinen Zusammenhang zwischen "orthogonaler Transformation" einerseits und "orthogonaler Matrix" andererseits.

Mag mir jemanand etwas helfen?

Meine Vermutung, die trotzdem viele Fragen offen lässt: Eine orthogonale Transformation ist eine lineare Abbildung, die sich durch eine orthogonale Matrix darstellen lässt ...

Gruss

Sonusfaber

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

11:14 Uhr, 10.11.2019

Hallo,

nun,

〈 \vec{x}; \vec{y} 〉

ist ja nichts anderes als

^{T} \vec{x} \cdot \vec{y}

(Standardskalarprodukt).

Demnach gilt

〈 S \vec{x}; S \vec{y} 〉 =^{T} (S \vec{x}) \cdot S \vec{y}

.
Gemäß Rechenregeln für's Transponieren erhält man

〈 S \vec{x}; S \vec{y} 〉 =^{T} \vec{x}^{T} S \cdot S \vec{y}

.
Dies kann nur dann mit

^{T} \vec{x} \cdot \vec{y}

(für alle

\vec{x}, \vec{y}

) übereinstimmen, wenn

^{T} S \cdot S = E

gilt.

Das ist die Motivation, orthogonale Matrizen eben derart zu definieren. (Ist bestimmt auch in einer Motivation oder eben in einem Beweis zu einem Satz/Lemma/etc dran gekommen.)

> Eine orthogonale Transformation ist eine lineare Abbildung, die sich durch eine orthogonale Matrix darstellen
> lässt ...

So ist es. Zusammenhang: s.o.

Mfg Michael

Sonusfaber aktiv_icon

11:22 Uhr, 10.11.2019

Alles klar, vielen herzlichen Dank! :-)

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