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orthogonales Komplement/ Invarianz

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Lineare Abbildungen

Matrizenrechnung

Tags: Lineare Abbildungen, Matrizenrechnung

Jennifer87 aktiv_icon

07:48 Uhr, 23.05.2014

Hi,

Ich habe ein Problem mit folgendem Beweis. Ich schreib euch einfach mal auf wie weit ich mir das überlegt hab:

Sei U ein orthogonaler Operator auf V. Sei W ein Unterraum von V und W invariant bezüglich U. zu zeigen:

W^{⊥}

ist ebenfalls U-inavriant

Nun zu meinem Beweis:

Für beliebige

v \in W^{⊥}

und

w \in W

gilt ja:

< v, w > = 0

Daher folgt ja :

0 = < v, U w > = < U^{⋆} v, w >

Nun mein Problem ist jetzt dass U nicht selbstadjungiert sondern orthogonal ist....

kann mir da wer weiter helfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Jennifer87 aktiv_icon

09:25 Uhr, 23.05.2014

Ok, hab mir eine neue Version überlegt.... aber so ganz schlüssig ist die Argumentation glaub ich noch nicht :(

U orthogonal heißt ja :

U^{⋆} U = I

also gilt für

v \in W^{⊥}

und

w \in W

beliebig:

0 = < v, w > = < U^{⋆} U v, W > = < U v, U w >

und da W U-invariant ist =>

U w \in W

folgt daraus dann dass

U v \in W^{⊥}

sein muss???

DrBoogie aktiv_icon

12:47 Uhr, 23.05.2014

So einfach ist es nicht.

Was gezeigt werden muss:

\bar{U (W)} = \bar{W}

(falls

W

abgeschlossen, sieht es einfacher aus:

U (W) = W

). Der Rest ist nicht schwierig, dieser Teil aber schon, glaube ich.

DrBoogie aktiv_icon

14:19 Uhr, 23.05.2014

Übrigens, die Aussage stimmt im unendlich-dimensionalen Fall gar nicht:
http://www.math.umn.edu/~garrett/m/fun/Notes/04a_ops_hsp.pdf (Remark auf der Seite 3)

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