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orthogonales Komplement einer Kurve

Universität / Fachhochschule

Tags: Kurve, orthogonal komplement

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19:41 Uhr, 10.10.2011

hey!

kann mir jemand zeigen wie man auf folgende Gleichung für das orthogonale Komplement einer 2. Ableitung einer Kurve kommt?

sei

c

eine zweimal stetig diff'bare Kurve

warum gilt:

c^{''} (t) = c^{''} (t) - \frac{< c^{''} (t), c^{'} (t) > \cdot c^{'} (t)}{{| | c^{'} (t) | |}^{2}}

wobei

< ..., ... >

das skalarprodukt ist.

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Sina86

20:21 Uhr, 10.10.2011

???

Schau da noch mal nach, ob das so richtig mitgeschrieben ist. Ist

c

eine Kurve, die nach der Bogenlänge parametrisiert ist, so ist

c ʺ

c ʹ

orthogonal. Dann würde die Gleichung ja stimmen (wäre aber unnütz hinzuschreiben).

Wenn

c

nicht nach der Bogenlänge parametrisiert ist, so macht diese Gleichung nicht so recht Sinn, es sei denn vor dem Gleichheitszeichen steht ein anderes

c ʺ

als hinter dem Gleichheitszeichen. Steht da vielleicht so etwas wie

\hat{c} ʺ (t) = c ʺ (t) - \frac{< c ʺ (t), c ʹ (t) > \cdot c ʹ (t)}{∥ c ʹ (t) ∥^{2}}

dann macht das ganze wieder Sinn, denn dann ist

\hat{c} ʺ

orthogonal zu

c ʹ

(Gram-Schmidt-Orthogonalisierungsverfahren).

Gruß
Sina

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00:46 Uhr, 11.10.2011

hey!

bei mir ist das allgemein gemeint.
vor dem gleichheitszeichen steht ein anderes

c^{''}

als hinter dem gleichheitszeichen.
danke.

warum ist bei umparametrisierung

c^{''}

orthogonal zu

c^{'}

?
und in was für einem zusammenhang steht das gram schmidt orthogonalsierungsverfahren zur krümmung einer kurve?

mfg

Sina86

03:53 Uhr, 11.10.2011

Bei einer allgemeinen Umparametrisierung ist

c ʺ

nicht orthogonal zu

c ʹ

. Das gilt nur bei der Bogenlängenparametrisierung, also die Parametrisierung, bei der für alle

t

gilt, dass

∥ c ʹ (t) ∥ = 1

ist. Denn dann gilt

0 = \frac{d}{d t} 1 = \frac{d}{d t} ∥ c ʹ (t) ∥^{2} = \frac{d}{d t} < c ʹ (t), c ʹ (t) > = 2 \cdot < c ʺ (t), c ʹ (t) >

Ist

c

nicht nach der Bogenlänge parametrisiert, dann gilt dies natürlich nicht. Allerdings ist sowohl

c ʹ (t)

, als auch

c ʺ (t)

für alle

t

ein Vektor in

ℝ^{n}

. Und auf einen Vektor im

ℝ^{n}

kann man das Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren anwenden.

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13:43 Uhr, 11.10.2011

ok, danke.

jetzt möchte ich die Krümmung einer Ellipse berechnen:
da taucht

a^{''} (t) = c^{''} (t) - \frac{< c^{''} (t), c^{'} (t) > \cdot c^{'} (t)}{{| | c^{'} (t) | |}^{2}}

wieder auf.

und zwar:

Ellipse

c (t) = (a \cdot cos (t), b \cdot sin (t))

c^{'} (t) = (- a \cdot sin (t), b \cdot cos (t))

c^{''} (t) = - c (t)

jetzt muss als nächstes

a^{''}

berechnet werden.
dafür definiert man sich die Matrix

J = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})

J \cdot c^{'} (t) = (- b \cdot cos (t), - a \cdot sin (t))

wie berechne ich damit jetzt

a^{''} (t)

für die krümmung gilt dann:

k (t) = \frac{a^{''} (t)}{{| | c' (t) | |}^{2}}

mfg

Sina86

14:02 Uhr, 11.10.2011

Hi,

ich habe keine Ahnung, was die Matrix

J

mit dem ganzen zu tun haben soll.

J

ist eine Drehung um 90°, mit

J \cdot c ʹ (t)

drehst du also lediglich den Tangentialvektor um 90°, das hat mit Krümmung nichts zu tun.

Du hast die Formel für

a ʺ (t)

gegeben, also setz einfach ein, was dir gegeben ist (

c ʺ (t)

und

c ʹ (t)

). Dann kannst du die Krümmung bestimmen.

Gruß
Sina

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16:39 Uhr, 11.10.2011

ok.

es soll wohl auch gelten:

| | a^{''} (t) | | = \frac{| < J \cdot c^{'} (t), c^{''} (t) > |}{| | J \cdot c^{'} (t) | |}

Sina86

17:06 Uhr, 11.10.2011

Hm, das folgt auch aus dem Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren. Wenn

x, y \in ℝ^{n}

sind, und

∥ x ∥ = 1

ist, dann ist der Vektor

< x, y > \cdot x

die orthogonale Projektion von

y

auf den von

x

aufgespannten Untervektorraum (o.a. das Lot von y gefällt auf

s p a n (x)

).

Da

a ʺ (t)

aus dem Gram-Schmidt-Verfahren stammt, ist

a ʺ (t)

orthogonal zu

c ʹ (t)

, d.h.

J \cdot c ʹ (t) \in s p a n (a ʺ (t))

. Nun wird in deinem Beispiel das einfachere Gram-Schmidt-Verfahren ohne Normalisierung des Ergebnis-Vektors benutzt. Dieses Verfahren konstruiert die orthogonale Projektion von

c ʺ (t)

auf

s p a n (a ʺ (t))

. Diese Projektion muss nicht normalisiert sein (im eigentlichen Gram-Schmidt-Verfahren normalisiert man den Ergebnisvektor in einem zweiten Schritt. Dies wird hier nicht gemacht).

a ʺ (t)

ist also das Lot von

c ʺ (t)

auf

s p a n (a ʺ (t))

gefällt. Damit ist

a ʺ (t) = < x, c ʺ (t) > x

, wobei

x

ein normalisierter Vektor aus dem

s p a n (a ʺ (t))

ist. Setze einfach

x = \frac{J \cdot c ʹ (t)}{∥ J \cdot c ʹ (t) ∥}

Dann ist

∥ a ʺ (t) ∥^{2} = ∥ < \frac{J \cdot c ʹ (t)}{∥ J \cdot c ʹ (t) ∥}, c ʺ (t) > \cdot \frac{J \cdot c ʹ (t)}{∥ J \cdot c ʹ (t) ∥} ∥^{2} = ∣ < \frac{J \cdot c ʹ (t)}{∥ J \cdot c ʹ (t) ∥}, c ʺ (t) > ∣^{2} \cdot ∥ \frac{J \cdot c ʹ (t)}{∥ J \cdot c ʹ (t) ∥} ∥^{2} = ∣ < \frac{J \cdot c ʹ (t)}{∥ J \cdot c ʹ (t) ∥}, c ʺ (t) > ∣^{2}

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13:42 Uhr, 19.10.2011

ok, danke

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