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p ist primelement <=> R/(p) ist Integritätsbereich

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Tags: Ring

 
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Hammerman

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11:03 Uhr, 12.06.2024

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Sei R ein Integritätsbereich, sei p ein Element in R−{ 0R} und sei R\(p) der Quotientenring. Beweisen Sie, dass p genau dann ein Primelement ist, wenn R\(p) ein
Integritätsbereich ist. ((p) ist das von p erzeugte Hauptideal )

Idee: Ich muss zeigen dass R\(p) Nullteilerfrei und kommutativ ist mit 1-element (für die ->Richtung)
sei a,b in R\(p) mit a=a⋅+(p),b=b⋅+(p):
a⋅b=(a⋅+(p))⋅(b⋅+(p))=a⋅⋅b⋅+(p)=b⋅⋅a⋅+(p)=(b⋅+(p))⋅(a⋅+(p))=b⋅a⇒ R\(p) kommutativ
a⋅b=0⇔(a⋅⋅b⋅)+(p)=0+(p)⇔a⋅⋅b⋅=0⇔a⋅=0vb⋅=0⇔a=0 in R\(p) oder b=0 in R\(p)
⇒ R\(p) Nullteilerfrei
Einselement in R\(p) ist 1+(p)

Damit ist die Hinrichtung gezeigt. Dazu wollte Ich erstmal fragen, ob dies genügt, da Ich nirgendwo die Eigenschaft von p als Primelement benutzt habe.
Und für die Rückrichtung habe Ich leider keinen Ansatz.


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michaL

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12:38 Uhr, 12.06.2024

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Hallo,

musst du denn wirklich was anderes zeigen als die Nullteilerfreiheit? (Alles andere erbt die Lokalisierung doch von R!?!)

Die Nullteilerfreiheit hat doch damit zu tun, dass aʹbʹ+(p)=0+(p) genau dann gilt, wenn aʹbʹ∈(p) gilt.
Es gibt dann doch ein v∈R mit aʹbʹ=vp, bzw. kürzer geschrieben: p∣aʹbʹ⇒p∣aʹ∨p∣bʹ, was doch für "⇒" genau zu zeigen war.

Die Umkehrung wird eigentlich auch ganz einfach, wenn du für p=ab mit a,b≠0 keine Einheiten nachweist, dass a+(p),b+(p) Nullteiler im lokalisierten Ring sind.

Mfg Michael
Hammerman

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09:55 Uhr, 13.06.2024

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Hallo, erstmal vielen Dank für die Antwort. Ja, bei den nachzuweisenden Eigenschaften ergeben sich die meisten aus den Eigenschaften von R, das stimmt, bin mir nicht immer sicher, was dem Korrektor des Blattes ausreicht...Aber so wie Ich es gezeigt habe, ergibt sich die Nullteilerfreiheit doch auch dadurch, oder war das falsch?
Bei deinem Ansatz verstehe Ich noch nicht, warum a´b´+(p)=0+(p) gilt, genau dann wenn a´b´ in (p)?
LG Robert
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michaL

michaL aktiv_icon

11:52 Uhr, 13.06.2024

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Hallo,

> Aber so wie Ich es gezeigt habe, ergibt sich die Nullteilerfreiheit doch auch dadurch, oder war das falsch?

Letzteres.
Du führst [aʹ+(p)][bʹ+(p)]=0+(p) darauf zurück, dass dann aʹbʹ=0 (in R) gelten müsste und verwendest dann dessen Nullteilerrfeiheit.

Du stellst die Frage,
> warum a´b´+(p)=0+(p) gilt, genau dann wenn a´b´ in (p)?

Und genau darum geht es doch!
Es werden zwei Elemente x,y∈R als "gleich" in R/(p) betrachtet, für die a-b∈(p) gilt. Es handelt sich bei den Elementen von R/(p) doch um Restklassen. Und für die kann man einen Vertreter wählen. Insbesondere gilt doch 0+(p)=p+(p).

aʹbʹ+(p)=0+(p) kann, muss aber nicht in jedem Fall heißen, dass aʹbʹ=0 gilt.
Es müsste eben "nur" aʹbʹ∈(p) gelten (und ja, es gilt sicher 0∈(p)).
Die Elemente x von (p) sind eben gerade von der Form x=v⋅p für v∈R.

Demnach kannst du aus aʹbʹ+(p)=0+(p) eben auch nur folgern, dass aʹbʹ=vp für ein geeignetes v∈R.
In anderer Schreibweise: p∣aʹbʹ EDIT: Sofern p prim.
Und daraus kannst du ableiten, dass p∣a∨p∣b gilt.
Oder wieder in R/(p)-Notation: aʹ=0+(p)∨bʹ=0+(p)

Mfg Michael
Frage beantwortet
Hammerman

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21:46 Uhr, 13.06.2024

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Ahh, Ich habe eine Verknüpfung, die vorher von einer anderen Aufgabe war übernommen, und dachte, dass diese allgemein gelten würde...Ich war mir auch nicht sicher bezüglich der äquivalenzrelation, ob diese für alle Quotientenräume gilt...okok, bei mir war wohl das fundament noch nicht ganz sicher. Jetzt ist alles klar geworden. Ich danke nochmal herzlich.