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parallele ebene aufstellen

Schüler

Tags: Abstand

Bahati aktiv_icon

18:54 Uhr, 09.10.2012

Ich hab einen Punkt B(4\4\-2) gegeben und eine ebene

E : 2 x 1 + 2 x 2 - x 3 = - 4

jetzt soll ich 2 zu

E

parallele ebenen austellen, die zu

B

den ABstand 5 haben.

Paralelle ebenen sind ja alle die den gleichen oder ein vielfaches des normalenvektors der gegebenen ebene haben. Aber wie mach ich das mit dem Abstand ?
bitte helft mir schnell, schreib übermorgen eine klausur :\

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Abstand Punkt Ebene
Abstand Punkt Gerade

Capricorn-01 aktiv_icon

22:12 Uhr, 09.10.2012

Die Ebenengleichung

2 x_{1} + 2 x_{2} - x_{3} + 4 = 0

teilst Du durch die Länge des Normalenvektors

(2; 2; - 1)

Länge

= \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1} = 3

\frac{2}{3} \cdot x_{1} + \frac{2}{3} \cdot x_{2} - \frac{1}{3} \cdot x_{3} + \frac{4}{3} = 0

(Hessesche Normalform)

Jetzt Punkt

B

einsetzen: B(4\4\-2)

\frac{8}{3} + \frac{8}{3} + \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = d \Rightarrow d = \frac{22}{3}

d

muss jetzt einmal

\frac{22}{3} + 5 = \frac{37}{3}

und einmal

\frac{22}{3} - 5 = \frac{7}{3}

betragen. Das gibt die beiden Ebenengleichungen:

\frac{2}{3} \cdot x_{1} + \frac{2}{3} \cdot x_{2} - \frac{1}{3} \cdot x_{3} + \frac{4}{3} = \frac{37}{3}

1. gesuchte Ebene:

\frac{2}{3} \cdot x_{1} + \frac{2}{3} \cdot x_{2} - \frac{1}{3} \cdot x_{3} - 11 = 0

\frac{2}{3} \cdot x_{1} + \frac{2}{3} \cdot x_{2} - \frac{1}{3} \cdot x_{3} + \frac{4}{3} = \frac{7}{3}

2. gesuchte Ebene:

\frac{2}{3} \cdot x_{1} + \frac{2}{3} \cdot x_{2} - \frac{1}{3} \cdot x_{3} - 1 = 0

Du kannst die Gleichungen noch mit 3 multiplizieren, um die Brüche wegzubringen.

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