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parametrisierung einer strecke auf einer Kugel

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Ginso aktiv_icon

10:41 Uhr, 05.01.2012

Hallo ich suche eine parametrisierte Form einer strecke auf einer kugel, die von einem Punkt auf dem Äquator immer in nordöstlicher Richtung bis zum Nordpol geht. Dabei sollte die geogr. Länge

φ

als Funktion der geogr. Breite

ϑ

hergeleitet werden. Wie sieht

φ (ϑ)

dann aus?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

13:29 Uhr, 05.01.2012

Hallo,

das hängt doch maßgeblich davon ab, auf welchem Weg man sich bewegt. Und welchen du meinst, kann ich nicht erkennen. Einen Punkt auf dem Äquator kann man mit dem Nordpol stets durch einen Großkreis (Längenkreis) verbinden. Der Weg führt aber direkt nach Norden. Soll deiner aber nicht. Soll etwa jeder Breitenkreis unter dem gleichen Winkel geschnitten werden, oder wie soll ich mir das vorstellen?

Mfg Michael

Edddi aktiv_icon

15:17 Uhr, 05.01.2012

Längengrad

= ψ

Breitenrad

= ϑ

Winkel zu dem der Nordpol erreicht werden soll

= φ

Sei nun a der Weg auf dem Äquator für einen Längengrad

ψ

(ausgehend von 0°), so gilt:

a = ψ \cdot R

Für

b

als Orthogonale zum Äquator folgt analog für

ϑ :

b = ϑ \cdot R

a, b

und

φ

sind nun Komonenten eines rechtw. sph. Dreiecks und es gilt beispielsweise:

sin (a) = tan (b) \cdot cot (φ)

sin (ψ \cdot R) = tan (ϑ \cdot R) \cdot cot (φ)

ψ = \frac{1}{R} \cdot {sin}^{- 1} (tan (ϑ \cdot R) \cdot cot (φ))

Probe mit

φ = \frac{π}{2}

(das entspräche senkrecht nach oben)

ψ = \frac{1}{R} \cdot {sin}^{- 1} (tan (ϑ \cdot R) \cdot 0) = 0

...dies passt zumindestens

;-)

Edddi aktiv_icon

15:29 Uhr, 05.01.2012

...hmm...mich macht nur das

R

etwas stutzig, denn eigentlich denke ich, dass das Ergebnis nicht von

R

abhängig sein dürfte...

...ich denk' mal nochmal drüber, vielleicht fällt auch noch jemand anderes was dazu ein...

...vielleicht hilft dir auch dieser Link weiter:

http//www.rainerstumpe.de/HTML/sphaer_dreieck.html

;-)

Edddi aktiv_icon

07:40 Uhr, 06.01.2012

...hab nochmal ein bisserl gestöbert und bin dann auf die Loxodrome gestoßen. Diese beschreibt eine Kurve auf der Kugeloberfläche, welche die Meridiane immer unter den selben Winkel

α

schneidet.

Für einen beliebigen Breitengrad

φ

gilt für den Radius des Breitenkreises:

r_{φ} = R \cdot cos (φ)

Betrachtet man nun auf diesem Breitenkreis die Änderung um einen Längenwinkel

Δ ψ

und führt den Grenzübergang

Δ ψ \to d ψ

durch, so wird aus dem sphärischen Dreieck ein euklidsches.

Es gilt dann für den zurückgelegten Weg entlang des Breitengrades

s_{φ} = r_{φ} \cdot d ψ = R \cdot cos (φ) \cdot d ψ

und für den senkrechten Weg entlang des Meridians

s_{ψ} = R \cdot d φ

Dann ist:

tan (α) = \frac{R \cdot cos (φ) \cdot d ψ}{R \cdot d φ}

und somit:

\frac{tan (α)}{cos (φ)} = \frac{d ψ}{d φ}

d ψ = \frac{tan (α)}{cos (φ)} \cdot d φ

ψ = tan (α) \cdot \int \frac{d φ}{cos (φ)}

ψ = tan (α) \cdot [ln (sin (\frac{φ}{2}) + cos (\frac{φ}{2})) - ln (cos (\frac{φ}{2}) - sin (\frac{φ}{2}))]

;-)

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