Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » partielle Ableitung einer Summe

partielle Ableitung einer Summe

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Funktion, mehrdimensionale Analysis, Partielle Differentialgleichungen

Dobby-Fanbase aktiv_icon

12:32 Uhr, 05.12.2017

Hey Leute,

ich brauche etwas Hilfe bei partiellen Ableitungen und wäre froh, wenn mir jemand helfen könnte. Die Aufgabe lautet :
"Für ein

n \in ℕ

sei

u : (0, \infty) \times ℝ^{n} \to ℝ

definiert durch

u (t, x) = u (t, x_{1}, ..., x_{n}) := \frac{1}{t^{\frac{n}{2}}} \cdot e^{\frac{- \sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{4 t}}

.

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen

\frac{\partial}{\partial t} u (t, x), \frac{\partial}{\partial x_{i}} u (t, x)

sowie

\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}} u (t, x)

und zeigen Sie, dass

\frac{\partial}{\partial t} u (t, x) = \sum_{i = 1}^{n} \frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}} u (t, x)

\frac{\partial}{\partial t} u (t, x)

habe ich bereits gerechnet. Bei

\frac{\partial}{\partial x_{i}} u (t, x)

habe ich allerdings Probleme. Ich bin mir nicht sicher wie ich die Summe ableiten soll. Kann mir da vielleicht jemand helfen?

Gruß,
Dobby

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ledum aktiv_icon

12:48 Uhr, 05.12.2017

Hallo
wie leitest du denn

e^{- \frac{x_{1}^{2}}{4 \cdot t}}

nach

x_{1}

ab?
wie dann

e^{- \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{4 \cdot t}}

nach

x_{1}

oder

x_{2}

dann kannst du das auch mit mehr Summanden
Gruß ledum

Dobby-Fanbase aktiv_icon

13:13 Uhr, 05.12.2017

Ableiten würde ich das so:

\frac{\partial}{\partial x_{1}} (e^{- \frac{x_{1}^{2}}{4 t}}) = \frac{\partial}{\partial x_{1}} (e^{u}) \cdot \frac{\partial}{\partial x_{1}} (u)

mit

u = (- \frac{x_{1}^{2}}{4 t})

e^{u}

abgeleitet bleibt

e^{u}

und

\frac{\partial}{\partial x_{1}} (- \frac{x_{1}^{2}}{4 t}) = \frac{1}{4 t} \cdot \frac{\partial}{\partial x_{1}} (x_{1}^{2}) = \frac{1}{4 t} \cdot 2 x_{1}

Stimmt das soweit?
Angewendet auf mein Summenzeichen wäre das ja

\frac{\partial}{\partial x_{i}} (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) = \frac{\partial}{\partial x_{1}} (x_{1}^{2}) + \frac{\partial}{\partial x_{2}} (x_{2}^{2}) + ... + \frac{\partial}{\partial x_{n}} (x_{n}^{2}) = 2 x_{1} + 2 x_{2} + ... + 2 x_{n} = \sum_{i = 1}^{n} 2 x_{i}

Wäre das dann richtig?

Gruß,
Dobby

Dobby-Fanbase aktiv_icon

13:37 Uhr, 05.12.2017

Ich habe jetzt einmal versucht

\frac{\partial}{\partial x_{i}} u (t, x)

zu lösen.

\frac{\partial}{\partial x_{i}} u (t, x) = \frac{\partial}{\partial x_{i}} (\frac{1}{t^{\frac{n}{2}}} \cdot e^{- \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{4 t}})

= \frac{\partial}{\partial x_{i}} (\frac{1}{t^{\frac{n}{2}}}) \cdot e^{- \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{4 t}} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (e^{- \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{4 t}}) \cdot \frac{1}{t^{\frac{n}{2}}}

\frac{\partial}{\partial x_{i}} (\frac{1}{t^{\frac{n}{2}}}) = 0,

da ich

t

und

n

hier ja als Konstante behandel und diese bei der Ableitung 0 ergeben.

\frac{\partial}{\partial x_{i}} (e^{- \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{4 t}}) = \frac{\partial}{\partial x_{i}} (e^{u}) \cdot \frac{\partial}{\partial x_{i}} (u),

mit

u = (- \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{4 t})

= e^{u} \cdot \frac{1}{4 t} \cdot \sum_{i = 1}^{n} 2 x_{i} = \frac{e^{u}}{4 t} \cdot \sum_{i = 1}^{n} 2 x_{i},

hier habe ich das abgeleitete Summenzeichen von oben verwendet und den Faktor

\frac{1}{4 t}

herausgezogen.

\Rightarrow \frac{\partial}{\partial x_{i}} (\frac{1}{t^{\frac{n}{2}}}) \cdot e^{- \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{4 t}} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (e^{- \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{4 t}}) \cdot \frac{1}{t^{\frac{n}{2}}}

= 0 \cdot e^{- \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{4 t}} + (\frac{e^{- \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{4 t}}}{4 t} \cdot \sum_{i = 1}^{n} 2 x_{i}) \cdot \frac{1}{t^{\frac{n}{2}}} = \frac{(\frac{e^{- \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}}{4 t}}}{4 t} \cdot \sum_{i = 1}^{n} 2 x_{i})}{t^{\frac{n}{2}}}

Gruß,
Dobby

ledum aktiv_icon

15:30 Uhr, 05.12.2017

Hallo
du sollst nach jeweils EINEM festen

x_{i}

ableiten, also nach

x_{1}

oder nach

x_{3}

usw- was du machst ist

\sum \frac{d}{{d x}_{i}},

also etwas ganz anderes. Schon bei

e^{- \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{4 t}}

hast du nicht nach

x_{1}

ODER

x_{2}

abgeleitet, sondern die Summe der Ableitungen genommen.
Gruß ledum

Dobby-Fanbase aktiv_icon

15:48 Uhr, 05.12.2017

Danke für die Hilfe :-)
da war ich mir auch nicht ganz sicher.

Also müsste eigentlich

\frac{\partial}{\partial x_{1}} (e^{\frac{- x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{4 t}}) = \frac{\partial}{\partial x_{1}} (e^{u}) \cdot \frac{\partial}{\partial x_{1}} (u) = e^{u} \cdot (- \frac{1}{4 t}) \cdot \frac{\partial}{\partial x_{1}} (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) = e^{u} \cdot (- \frac{1}{4 t}) \cdot (2 x_{1} + 0)

sein?

und somit dann ja

\frac{\partial}{\partial x_{i}} (\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2}) = \frac{\partial}{\partial x_{i}} (x_{1}^{2}) + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (x_{2}^{2}) + ... + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (x_{i}^{2}) + ... + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (x_{n}^{2}) = 0 + 0 + ... + 2 x_{i} + ... + 0 = 2 x_{i}

ist das soweit richtig?

Eine Frage hätte ich noch...
ist mit

\frac{\partial^{2}}{\partial x_{i}^{2}} u (t, x) = \frac{\partial}{\partial x_{i}} (\frac{\partial}{\partial x_{i}} u (t, x))

gemeint?

Gruß,
Dobby

ledum aktiv_icon

13:37 Uhr, 06.12.2017

Hallo
ja, jetzt richtig, wobei die vielen Nullen selvverständlich sind, die hinzuschreiben zeigt, dass du partielle Integration nicht wirklich verinnerlicht hast, alle

x_{i}

ausser dem, nach dem Abgeleitet wird werden wie Konstanten behandelt, und von den schreibst du ja auch nicht all die Nullen hin
und ja die zweite Ableitung nach

x_{i}

ist einfach die partielle Ableitung der ersten partiellen Ableitung. dein letzter Ausdruck ist also richtig
Gruß ledum

Dobby-Fanbase aktiv_icon

16:00 Uhr, 18.12.2017

danke :-)

1406201

1403461

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?